Liesel
Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben

6.8 Trapeze

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Trapez mit den Seiten a = 10 dm, b = 5 dm, c = 4 dm und der Höhe h = 4 dm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!
Trapez
Gesucht
1.)Umfang: dm
2.)Flächeninhalt:  dm²

Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:

Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden.

Die Trapeze in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.

Grundwissen zu Trapezen

Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten (a und c), die als Grundseiten bezeichnet werden. Die beiden anderen Seiten (b und d) werden Schenkel genannt.

Trapeze können ungleichschenklig oder gleichschenklig sein. Im gleichschenkligen Trapez haben die Schenkel gleiche Länge, sind aber im Gegensatz zum Parallelogramm nicht parallel.

Übliche Bezeichnungen im Trapez sind:

  • die Eckpunkte A, B, C, D
  • die Seiten a, b, c, d
  • die Winkel α, β, γ, δ
  • die Diagonalen e, f
  • die Höhe h
  • die Mittellinie m

Die Bezeichnung erfolgt jeweils entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn.

Für das Trapez gilt:

  • Der Abstand zwischen den Grundlinien ist die Höhe h.
  • Die Mittellinie m halbiert als Mittelparallele zu den Grundlinien die Schenkel b und d.
  • Die Mittellinie ist halb so lang wie die Summe der Grundlinien.
  • Die Winkel an jedem Schenkel sind supplementär, d. h. sie ergänzen einander zu 180°:
    • α + δ = 180°
    • β + γ = 180°

Abb. 1: ungleichschenkliges Trapez

ungleichschenkliges Trapez

Für das gleichschenklige Trapez gilt zusätzlich:

  • Die Winkel sind an jeder Grundlinie gleich groß: α = β und γ = δ.
  • Es gibt eine Symmetrieachse mit den Halbierungspunkten H und G der Grundlinien a und c, die das gleichschenklige Trapez in zwei kongruente Trapeze AGHD und BGHC teilt (alle entsprechenden Seiten und Winkel, also α = β und γ = δ, stimmen überein) und damit auch die Höhe des Trapezes sein muss.
  • Daraus ergibt sich: Die Diagonalen e und f sind gleich lang und schneiden einander auf der Symmetrieachse.

Abb. 2: gleichschenkliges Trapez

gleichschenkliges Trapez

Berechnung des Umfangs eines Trapezes

Den Umfang eines Trapezes berechnet man durch Addition der vier Seiten:

u = a + b + c + d

Sind nicht die Grundlinien a und c, sondern die Mittellinie m bekannt, so gilt durch Umkehrung des Satzes, dass die Mittellinie halb so lang ist wie die Summe der Grundlinien:

u = 2 m + b + d

Da beim gleichschenkligen Trapez die Schenkel b und d gleich lang sind, kann man die Formel etwas verkürzen:

u = a + 2 b + c

Sollten im gleichschenkligen Trapez nur die Schenkel und die Mittellinie bekannt sein, so berechnet man den Umfang wie folgt:

u = 2 m + 2 b

Der Umfang des Trapezes aus der Beispielaufgabe beträgt also:

u = 10 dm + 2 · 5 dm + 4 dm

u = 24 dm

Berechnung der Fläche eines Trapezes

Trapez

Herleitung der Formel

Wir wissen bereits, dass die Mittellinie m als Mittelparallele zu den Grundlinien die Schenkel b und d halbiert und dass die Mittellinie dabei halb so lang ist wie die Summe der Grundlinien.

Zeichnen wir durch die Mitten E und F der Schenkel des Trapezes Senkrechte zu den Grundlinien, so entstehen zwei Paare rechtwinkliger Dreiecke AGE und DKE bzw. BHF und CJF.

Da E die Mitte des Schenkels d ist und die beiden rechtwinkligen Dreiecke entsprechende gleiche Winkel haben, sind die Dreiecke kongruent und demnach EG = EK. Das Gleiche gilt für FH = FJ.

Da GK und HJ als Abstand zwischen den Grundlinien gleich sind, müssen auch die Hälften dieser Strecken EG und FH gleich sein und EH damit parallel zu den Grundseiten verlaufen.

Da die Dreiecke AGE und DKE bzw. BHF und CJF kongruent, also auch flächengleich sind, hat das Trapez ABCD dieselbe Fläche wie das Rechteck GHJK mit den Seiten m und h, wobei die Mittellinie halb so lang ist wie die Summe der Grundlinien. Daraus ergibt sich folgende Formel für den Flächeninhalt des Trapezes:

A = m · h = a + c · h
2

Übrigens, anhand der Abbildung ist auch ersichtlich, warum die Mittellinie halb so lang ist wie die Summe der Grundlinien:

a + c = AB + DC = GH + AG + HB + DC = GH + KD + CJ + DC = GH + KJ = 2 m

Wenn a + c = 2 m ist, dann ist:

m = a + c
2

Die Fläche des Trapezes aus der Beispielaufgabe beträgt also:

A = 10 dm + 4 dm · 4 dm
2

A = 28 cm²

Berechnung der Höhe eines gleichschenkligen Trapezes bei gegebenen Seiten

Trapez

Bei gegebenen Seiten kann man bei einem gleichschenkligen Trapez auch die Höhe des Trapezes berechnen.

Trägt man die Höhe jeweils durch die Punkte C und D ein, so entstehen zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke AED und BFC.

Da die Seiten AE und FB gleich lang sind, lassen sie sich aus der Differenz der Seiten a und c berechnen. Hier das Beispiel für die Seite AE:

AE = a - c
2

Damit sind zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks AED bekannt. Die fehlende Seite, in diesem Fall die gesuchte Höhe des Trapezes, lässt sich mit Hilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln, indem man vom Quadrat der Seite b das Quadrat der Seite AE abzieht und aus der Differenz die Wurzel zieht. Wir verwenden für die Formel die Seite b, da im gleichschenkligen Trapez d = b ist:

Trapez Formel

Wir ziehen die Wurzel:

Trapez Formel

Die Formel sieht recht kompliziert aus, was an dem komplexen Term für die Seite AE liegt. Im Grunde ist es ja nur eine Umstellung des Satzes des Pythagoras. Dass die Berechnung recht leicht ist, sehen wir an unserem folgenden Rechenbeispiel.

Beispielrechnung

Nehmen wir an, in der Beispielaufgabe oben wäre die Höhe nicht gegeben, sondern für ein gleichschenkliges Trapez mit den Seiten a = 10 dm, b = 5 dm, c = 4 dm, d = 5 dm gesucht.

Wir können also für die Variablen in der Formel konkrete Werte eintragen (die Einheiten sind der Übersichtlichkeit wegen weggelassen):

Trapez Formel

Wir lösen schrittweise:

Trapez Formel

Das war's schon. Die Berechnung ist eigentlich nicht kompliziert - es handelt sich um Grundwissen zum rechtwinkligen Dreieck. Man muss verstanden haben, wie und warum man die Seite AE mit Hilfe der Grundlinien berechnen kann. Der Rest ist nach dem Satz des Pythagoras ganz einfach zu lösen.

Hinweis zum Schluss: Auch wenn es aus den Ausführungen klar werden sollte, dass man die Höhe eines ungleichschenkligen Trapezes bei gegebenen Schenkeln und Grundlinien nicht berechnen kann, sei das an dieser Stelle ausdrücklich erwähnt. Man kann zwar auch im ungleichschenkligen Trapez die Höhen durch C und D eintragen, aber es sind keine Aussagen zu den Längen der Seiten AE und FB in den entsprechenden Dreiecken möglich.

Berechnung einer Grundlinie eines Trapezes bei gegebenen Schenkeln, Höhe und der anderen Grundlinie

Trapez

Bei gegebenen Schenkeln, der Höhe und einer Grundseite kann man bei einem Trapez auch die gegenüberliegende Grundlinie berechnen.

Sehen wir uns noch einmal die bereits von der Berechnung der Höhe bekannte Abbildung mit den rechtwinkligen Dreiecken AED und BFC an, die durch den Eintrag der Höhen durch die Punkte C und D entstehen.

Von diesen Dreiecken ist jeweils die Hypotenuse (= dem entsprechenden Schenkel) und eine Kathete (= der Höhe) bekannt. Damit lässt sich mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die jeweils fehlende Seite berechnen.

Dabei sind beim ungleichschenkligen Trapez die Seiten AE und FB mit Hilfe der jeweiligen Schenkellänge zu berechnen, während beim gleichschenkligen Trapez eine Berechnung genügt.

Die ermittelten Beträge addiert man zur kürzeren Grundlinie c bzw. subtrahiert sie von der längeren Grundlinie a, je nach dem, was gegeben und gesucht ist.

Die Formel sehen wie folgt aus:

a = c + b2 - h2 + d2 - h2

c = a - b2 - h2 - d2 - h2

Für das gleichschenklige Trapez lässt sich die Formel vereinfachen, da die Schenkel b und d gleich lang sind:

a = c + 2 · b2 - h2

c = a - 2 · b2 - h2

Beispielrechnung

Nehmen wir an, in der Beispielaufgabe oben wäre die Seite a nicht gegeben, sondern für ein gleichschenkliges Trapez mit der Grundlinie c = 4 dm, einer Schenkellänge von 5 dm und einer Höhe von 4 dm gesucht.

Wir können also für die Variablen in der Formel konkrete Werte eintragen und Schritt für Schritt lösen (die Einheiten sind der Übersichtlichkeit wegen weggelassen):

a = 4 + 2 · 52 - h4

a = 4 + 2 · 25 - 16

a = 4 + 2 · 9

a = 4 + 2 · 3

a = 10 dm

Bei einem ungleichschenkligen Trapez müsste das Ganze noch für den anderen Schenkel wiederholt werden.

Berechnung der Grundlinien eines Trapezes bei gegebenen Schenkeln, Höhe und Mittellinie

Trapez

Bei gegebenen Schenkeln, Mittellinie und Höhe kann man bei einem Trapez auch die Grundlinien des Trapezes berechnen. Die Berechnung ähnelt der Berechnung einer Grundlinie mit Hilfe der anderen bei gegebenen Schenkeln und Höhe.

Bekanntlich halbiert die Mittellinie m die Schenkel in den Punkten E und F.

Trägt man die Höhe durch diese Punkte ein, entstehen jeweils zwei Paare kongruenter, rechtwinkliger Dreiecke AGE und DKE bzw. BHF und CJF.

Von diesen vier Dreiecken sind jeweils zwei Seiten bekannt: die Hypotenusen betragen die Hälfte des entsprechenden Schenkels und eine Kathete beträgt jeweils die Hälfte der Höhe.

Die fehlenden Seiten (AG, HB, CJ, KD) lassen sich also mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Für die Grundseiten a und c gilt daher:

a = m + AG + HB

c = m - KD - CJ

Wir ersetzen die Seiten durch die bekannten Größen (Hälften der entsprechenden Schenkel und halbe Höhe) und setzen entsprechend Pythagoras umgeformt ein:

Formeln Beispielaufgabe

Für ein gleichschenkliges Trapez sind die Dreiecksseiten AG und HB und KD und CJ gleich lang, was zu folgender Vereinfachung führt:

Formeln Beispielaufgabe

Zugegebenermaßen sehen die Formeln recht beeindruckend aus, aber in der Praxis sind lediglich zwei Seiten nach dem Satz des Pythagoras zu berechnen, beim gleichschenkligen Trapez sogar nur eine, und danach ist noch ein bisschen zu addieren bzw. zu subtrahieren. Sehen wir uns ein Rechenbeispiel an.

Beispielrechnung

Nehmen wir an, in der Beispielaufgabe oben wären die Seiten a und c nicht gegeben, sondern für ein gleichschenkliges Trapez mit einer Schenkellänge von 5 dm, einer Höhe von 4 dm und einer Mittellinie von 7 dm gesucht.

Wir können also für die Variablen in der Formel konkrete Werte eintragen und Schritt für Schritt lösen (die Einheiten sind der Übersichtlichkeit wegen weggelassen):

Formeln Beispielaufgabe

a = 7 + 2 · 1,5 (1,5 ist der gesuchte Betrag für die Dreieckseite AG, HB, CJ, KD)

a = 7 + 3

a = 10 dm

Der Rechenweg sollte einmal ganz ausführlich gezeigt werden, entscheidend ist aber der Betrag 1,5 dm. Mit seiner Hilfe lässt sich die Seite c ganz einfach ausrechnen:

c = 7 dm - 2 · 1,5 dm = 4 dm

Bei einem ungleichschenkligen Trapez müsste das Ganze noch für den anderen Schenkel wiederholt werden.

Umkehraufgaben

Die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Trapezes lassen sich natürlich umstellen, falls der Umfang, der Flächeninhalt, eine Seite usw. gegeben ist. Folgende Varianten sind möglich und werden geübt:

gegebengesuchtFormel
gesucht: Umfang und Mittelinie im gleichschenkligen Trapezgegeben: Schenkellänge

Formel:

u = 2 m + 2 b | - 2 m

u - 2 m = 2 b | : 2

u - 2 m = b
2
b = u - 2 m
2
gegeben: Umfang und Grundlinien im gleichschenkligen Trapezgesucht: Schenkellänge

Formel:

u = a + 2 b + c | - a | - c

u - a - cm = 2 b | : 2

u - a - c = b
2
b = u - a - c
2
gegeben: Fläche, Mittelliniegesucht: Höhe h

Formel:

A = m · h | : m

A = h
m
h = A
m
gegeben: Fläche, Höhegesucht: Mittellinie

Formel:

A = m · h | : h

A = m
h
m = A
h

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise

1. Teilaufgabe

gesucht: Umfang

Ergebnis: 24 dm

Lösungshinweise:

gegeben: Trapez mit den Seiten a = 10 dm, b = 5 dm, c = 4 dm, d = 5 dm

gesucht: Umfang u

Lösung:

u = a + b + c + d

u = 10 dm + 5 dm + 4 dm + 5 dm

u = 24 dm

2. Teilaufgabe

gesucht: Flächeninhalt

Ergebnis: 28 dm²

Lösungshinweise:

gegeben: Trapez mit den Seiten a = 10 dm, c = 4 dm und der Höhe h = 4 dm

gesucht: Flächeninhalt A

Lösung:

A = a + c · h
2
A = 10 dm + 4 dm · 4 dm
2

A = 28 dm²