Liesel
Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben

6.7 Rhomben (Rauten)

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

Gegeben ist ein Rhombus mit der Seite a = 5 dm und den Diagonalen e = 8 dm und f = 6 dm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!
Rhombus
Gesucht
1.)Umfang: dm
2.)Flächeninhalt:  dm²

Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:

Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden.

Die Rhomben in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.

Grundwissen zu Rhomben

Rhombus

Ein Rhombus ist ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten.

Der Rhombus (griechisch róh—mbos = Kreisel; Doppelkegel; verschobenes Quadrat) wird auch Raute genannt.

Übliche Bezeichnungen im Rhombus sind:

Die Bezeichnung erfolgt jeweils entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn.

Für den Rhombus gilt:

Der Rhombus kann auch als spezielle Form des Drachenvierecks aufgefasst werden. Zur Erinnerung: Ein Drachenviereck (auch Deltoid genannt) ist ein Viereck mit zwei Paar benachbarten gleich langen Seiten. Da beim Rhombus alle Seiten gleich lang sind, sind natürlich auch die benachbarten Seitenpaare gleich lang. Bedeutsam ist das für eine Variante der Berechnung des Flächeninhalts des Rhombus.

Berechnung des Umfangs eines Rhombus

Den Umfang des Rhombus berechnet man durch Addition der vier Seiten. Da die Seiten a, b, c, d gleich lang sind, ergibt sich folgende Formel:

u = 4a

Der Umfang des Rhombus aus der Beispielaufgabe beträgt also:

u = 4 · 5cm

u = 20 cm

Berechnung der Fläche eines Rhombus

Der Rhombus ist ein Parallelogramm, also kann zur Berechnung des Flächeninhalts die entsprechende Formel (Herleitung siehe Thema 6.5) verwendet werden:

A = a · h

Da der Rhombus aber auch eine spezielle Form des Drachenvierecks ist, kann zur Berechnung des Flächeninhalts auch die entsprechende Formel (Herleitung siehe Thema 6.6) verwendet werden:

A = e · f
2

Welche der beiden Formeln man verwendet, hängt von den gegebenen Größen in der Aufgabe ab. Sind Seitenlänge und Höhe gegeben, verwendet man die Formel für das Parallelogramm, sind die Diagonalen gegeben, dann die Formel für das Drachenviereck.

Der Flächeninhalt des Rhombus aus der Beispielaufgabe beträgt also:

bei gegebener Seitenlänge und Höhebei gegebenen Diagonalen

A = a · h

A = 5 cm · 4,8 cm

A = 24 cm²

A = e · f
2
A = 6 cm · 8 cm
2
A = 48 cm²
2

A = 24 cm²

Berechnung der Seite eines Rhombus bei gegebenen Diagonalen

Rhombus

Die Diagonalen e und f mit dem Schnittpunkt M teilen den Rhombus ABCD in vier Dreiecke (ABM, BCM, CDM, DAM).

Da die Diagonalen im Rhombus senkrecht aufeinander stehen und einander halbieren, sind die vier Dreiecke alle rechtwinklige Dreiecke und sie sind auch gleich groß, da sie alle als Katheten e/2 und f/2 haben.

Die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks bei gegebenen Katheten berechnet man nach dem Satz des Pythagoras (siehe auch Thema 6.2). Zur Erinnerung, das geht so:

a² + b² = c² |

c = a² + b²

Beispielrechnung

Gegeben ist ein Rhombus mit den Diagonalen e = 8 cm und f = 6 cm. Wie lang ist die Seite a?

a² + b² = c² | Wir setzen ein: f/2 = 3 cm für a, e/2 = 4 cm für b und die Seite a für die Hypotenuse c

(3 cm)² + (4 cm)² = a² |

a = (3 cm)² + (4 cm)²

a = 9 cm² + 16 cm²

a = 25 cm²

a = 5 cm

Berechnung der Höhe eines Rhombus bei gegebenen Diagonalen

Bei gegebenen Diagonalen kann man nicht nur die Seitenlänge berechnen, sondern auch die Höhe des Rhombus.

Die Höhe des Rhombus ist gleich der doppelten Höhe des Dreiecks ABM.

Zuerst berechnen wir die Seitenlänge a (siehe oben).

Danach lässt sich die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks ABM mit Hilfe der Kathetensätze und des Höhensatzes berechnen (siehe Thema 6.2).

Als Letztes ist die Höhe des Dreiecks zu verdoppeln.

Rhombus

Zur Erinnerung:

Kathetensätze

a² = c · p und b² = c · q

Höhensatz

h² = p · q

Die Formel für die Höhe h in einem gleichschenkligen Dreieck bei unbekannten p und q sieht so aus:

Formel: Höhe im gleichschenkligen Dreieck
rechtwinkliges Dreieck

Setzt man in die Formel für a f/2 und für b e/2 und für c a ein und quadriert und multipliziert die vielen halben Werte (Halbe mal Halbe gleich Viertel und Viertel mal Viertel gleich Sechzehntel), so erhält man folgende Formel zur Berechnung der Höhe eines Rhombus bei gegeben Diagonalen e und f:

Formel: Rhombus Höhe

Beispielrechnung

Gegeben ist ein Rhombus mit den Diagonalen e = 8 cm und f = 6 cm. Berechne die Höhe h!

Als Erstes ist die Seite a zu berechnen. Wie das geht, wurde weiter oben gezeigt. Deshalb übernehmen wir hier den oben berechneten Wert:

a = 5cm

An dieser Stelle könnte man die Werte für a, e und f in die oben gegebene Formel einsetzen. Hier soll aber Schritt für Schritt gezeigt werden, wie man mit Hilfe der Kathetensätze und des Höhensatzes zum Ergebnis kommt, denn meist merkt man sich neben dem Satz des Pythagoras nur diese Sätze und nicht alle speziellen Formeln und Umformungen.

Wir berechnen mit Hilfe der Kathetensätze die Hypotenusenabschnitte p und q.

a² = c · p | Wir setzen ein: f/2 = 3 cm für a und die Seite a für die Hypotenuse c

(3 cm)² = 5 cm · p | Wir quadrieren.

9 cm² = 5 cm · p | : 5cm

9 cm² = p
5 cm
p = 9 cm²
5 cm

p = 1,8 cm

b² = c · q | Wir setzen ein: f/2 = 4 cm für b und die Seite a für die Hypotenuse c

(4 cm)² = 5 cm · q | Wir quadrieren.

16 cm² = 5 cm · q | : 5cm

16 cm² = q
5 cm
q = 16 cm²
5 cm

q = 3,2 cm

Nun lässt sich die Höhe des Dreiecks ABM mit Hilfe des Höhensatzes berechnen:

h² = p · q | Wir setzen die soeben ermittelten Werte für p und q ein.

h² = 1,8 cm · 3,2 cm

h² = 5,76 cm² |

h = 5,76 cm²

h = 2,4 cm

Nun berechnen wir die Höhe h des Rhombus, indem wir die Höhe des Dreiecks ABM verdoppeln:

h = 2 · hABM

h = 2 · 2,4 cm

h = 4,8 cm

Die Berechnung ist eigentlich nicht kompliziert - es handelt sich um Grundwissen zum rechtwinkligen Dreieck. Aufpassen muss man beim Einsetzen der Werte in die Formeln, denn man muss ständig im Hinterkopf haben, dass es sich bei den Katheten um die halbierten Diagonalen handelt. Es empfiehlt sich also, jeden Schritt der Berechnung anhand der beiden Graphiken nachzuvollziehen.

Umkehraufgaben

Die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Rhombus lassen sich natürlich umstellen, falls der Umfang, der Flächeninhalt, die Seite usw. gegeben ist. Folgende Varianten sind möglich und werden geübt:

gegebengesuchtFormel
UmfangSeite a

u = 4a | : 4

u = a
4
a = u
4
Fläche, Seite aHöhe h

A = a · h | : a

A = h
a
h = A
a
Fläche, Höhe hSeite a

A = a · h | : h

A = a
h
a = A
h
Fläche, Diagonale eDiagonale f
A = e · f | · 2
2

2A = e · f  | : e

2A = f
e
f = 2A
e
Fläche, Diagonale fDiagonale e
A = e · f | · 2
2

2A = e · f  | : f

2A = e
f
e = 2A
f

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise

1. Teilaufgabe

gesucht: Umfang

Ergebnis: 20 dm

Lösungshinweise:

gegeben: Rhombus mit der Seite a = 5 dm

gesucht: Umfang u

Lösung:

u = 4a

u = 4 · 5 dm

u = 20 dm

2. Teilaufgabe

gesucht: Flächeninhalt

Ergebnis: 24 dm²

Lösungshinweise:

gegeben: Rhombus mit den Diagonalen e = 8 dm und f = 6 dm

gesucht: Flächeninhalt A

Lösung:

A = e · f
2
A = 8 dm · 6 dm
2

A = 24 dm²