Liesel
Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben

6.9 Kreise

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

Gegeben ist ein Kreis mit dem Durchmesser d = 10 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!
Krei
Gesucht
1.)Umfang: cm
2.)Flächeninhalt:  cm²

Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:

Für π ist mit 3,14 zu rechnen. Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden.

Die Kreise in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das.

Grundwissen zu Kreisen

Kreis

Ein Kreis wird durch die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Punkt M (= Mittelpunkt) denselben Abstand r (= Radius) haben.

Übliche Bezeichnungen im Kreis sind:

Berechnung des Umfangs eines Kreises

Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser ist konstant. Es wird mit dem griechischen Buchstaben π bezeichnet - man spricht von der Konstante oder auch der Kreiszahl π (gesprochen: pi).

Die Kreiszahl π hat unendlich viele Stellen und beginnt mit 3,14159265358979323846. Für viele Berechnungen, besonders in der Schule, werden nur die ersten drei Stellen vewendet. Dann gilt vereinfacht:

π = 3,14

Weiterführende Informationen zu mathematischen Grunddaten, der Geschichte der Berechnung usw. von π findet man zum Beispiel unter https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl.

Die Formel zur Berechnung des Umfangs des Kreises lautet:

u = πd = 2πr

Die Variante mit dem Radius r ergibt sich aus der schon weiter oben genannten Tatsache, dass d = 2 r ist.

Der Umfang des Kreises aus der Beispielaufgabe beträgt also:

u = π · 10 cm

u = 3,14 · 10 cm

u = 31,4 cm

Wäre statt des Durchmessers der Radius von 5 cm gegeben, so würde man mit 2πr rechnen und zum selben Ergebnis kommen, denn 2 mal 5 ist 10.

Berechnung der Fläche eines Kreises

Kreis

Herleitung der Formel

Die Kreisfläche lässt sich auch unter Zuhilfenahme der Kreiszahl π berechnen.

Nehmen wir dazu an, dass der Kreis in sehr viele Sektoren, nämlich in Kreisausschnitte zerlegt ist, die durch zwei Radien und einen Kreisbogen begrenzt sind (siehe Abbildung).

Wir können uns nun so viele und so schmale Kreisausschnitte vorstellen, das jedes Bogenstück praktisch als gerade angesehen werden kann. Dadurch entstehen sehr schmale gleichschenklige Dreiecke, deren Summe der Grundlinien den Umfang des Kreises ergibt und deren Schenkel sich dem Radius immer mehr annähern.

In der Abbildung sieht man, wie schnell sich die Grundseite der gleichschenkligen Dreiecke dem Bogenstück nähert: Der erste Winkel mit 90° weist noch einen deutlichen Unterschied zwischen Grundseite und Bogenstück aus (das gilt auch für die Höhe und den Radius, die Höhe ist aber nicht eingezeichnet, um nicht zu viele Linien einzuzeichnen). Dann wird der Winkel immer halbiert, also 45°, 22,5° usw. Schon beim achten Schritt kann man die Linien nicht mehr unterscheiden.

Für ein einzelnes dieser Dreiecke wäre die Fläche, wobei der Radius r für die Höhe h steht:

A = g · r
2

Alle Dreiecke zusammen ergeben die Kreisfläche, wir setzen also den Umfang u statt der Grundseite g ein:

A = u · r
2

Da wir, wie weiter ober dargestellt, den Umfang mit Hilfe des Radius darstellen können (u = 2πr), ersetzen wird den Umfang in der Formel durch den Term mit dem Radius:

A = 2πr · r
2

Nun kürzen wir die zwei und quadrieren r und erhalten als Formel:

A = πr2

Eine weitere Variante der Formel entsteht durch die Verwendung des Durchmessers anstatt des Radius. Dabei ist anstatt des Radius der halbe Durchmesser zu quadrieren:

d · d = d2
224

Wir setzen anstatt des Radius d²/4 in die Formel ein und erhalten:

A = πd2
4

Bemerkenswerterweise lassen sich also sowohl der Umfang als auch der Flächeninhalt eines Kreise mit Hilfe der Kreiszahl π und nur einer weiteren gegebenen Größe (Radius oder Durchmesser) berechnen.

Beispielrechnung

Der Flächeninhalt des Kreises aus der Beispielaufgabe beträgt also:

A = π · (10 cm)2

A = 3,14 · 100 cm2

A = 314 cm2

Umkehraufgaben

Die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Kreises lassen sich natürlich umstellen, falls der Umfang oder der Flächeninhalt gegeben ist. Folgende Varianten sind möglich und werden geübt:

gegebengesuchtFormel
UmfangRadius

u = 2πr | : 2π

u = r
2π
r = u
2π
UmfangDurchmesser

u = πd | : π

u = d
π
d = u
π
FlächeRadius

A = πr2 | : π

A = r2
π
r2 = A |
π
Kreis
FlächeDurchmesser
A = πd2 | · 4
4

4A = πd2 | : π

4A = d2
π
d2 = 4A |
π
Kreis

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise

1. Teilaufgabe

gesucht: Umfang

Ergebnis: 31,4 dm

Lösungshinweise:

gegeben: Kreis mit dem Durchmesser d = 10 dm

gesucht: Umfang u

Lösung:

u = πd

u = 3,14 · 10 dm

u = 31,4 dm

2. Teilaufgabe

gesucht: Flächeninhalt

Ergebnis: 78,5 dm²

Lösungshinweise:

gegeben: Kreis mit dem Durchmesser d = 10 dm

gesucht: Flächeninhalt A

Lösung:

A = πd2
4
A = 3,14 · (10 dm)2
4
A = 3,14 · 100 dm²
4

A = 78,5 dm²