Liesel
Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben

6.6 Drachenvierecke

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

Gegeben ist ein Drachenviereck mit den Seiten a = 2 cm und b = 3,5 cm und den Diagonalen e = 4,3 cm und f= 3,2 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!
Drachenviereck
Gesucht
1.)Umfang: dm
2.)Flächeninhalt:  dm²

Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:

Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden.

Die Drachenvierecke in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.

Grundwissen zu Drachenvierecken

Drachenviereck

Ein Drachenviereck (auch Deltoid genannt) ist ein Viereck mit zwei Paar benachbarten gleich langen Seiten.

Übliche Bezeichnungen im Parallelogramm sind:

Die Bezeichnung erfolgt jeweils entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn.

Für das Drachenviereck gilt:

Berechnung des Umfangs eines Drachenvierecks

Den Umfang des Drachenvierecks berechnet man durch Addition der vier Seiten. Da die Seiten a, d und b, c gleich lang sind, ergibt sich folgende Formel:

u = 2a + 2b = 2(a + b)

Der Umfang des Drachenvierecks aus der Beispielaufgabe beträgt also:

u = 2 · (2 cm + 3,5 cm)

u = 2 · 5,5 cm

u = 11 cm

Berechnung der Fläche eines Drachenvierecks

Herleitung der Formel

Sind die Diagonalen e und f gegeben, so lässt sich der Flächeninhalt einfach berechnen, denn die Diagonale e als Symmetrieachse teilt das Drachenviereck in zwei gleich große Dreiecke ABC und ADC. Dabei ist die Diagonale e jeweils die Grundseite der Dreiecke und die Höhe auf die Grundseite entspricht der Hälfte der Diagonale f.

Wir haben also zwei gleich große Dreiecke mit gegebener Grundseite (= e) und Höhe (= f/2).

Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist:

A = g · h
2

Für zwei gleich große Dreiecke multiplizieren wir mit 2 und kürzen danach die 2 weg:

A = 2 · g · h = g · h
2

Wir ersetzen g durch e und h durch f Halbe und erhalten die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Drachenvierecks:

A = e · f
2

Die Formel lässt sich auch graphisch herleiten:

Wir nennen den Schnittpunkt der Diagonalen S.

Dadurch erhalten wir zwei Dreiecke, nämlich das Dreieck ABS und das Dreieck BCS.

Wir spiegeln beide Dreiecke an der Diagonale e.

Wir drehen beide Dreiecke um 180° um den Mittelpunkt der Seite c bzw. d.

Drachenviereck

Das entstandene Rechteck hat einen Flächeninhalt von e · f/2 oder etwas eleganter geschrieben:

A = e · f
2

Hinweis: Wem die graphische Herleitung "zu abstrakt" sein sollte, der sollte sich ein Blatt Papier nebst Bleistift, Lineal, Zirkel und Schere zur Hand nehmen und der Sache praktisch auf den Grund gehen.

Drachenviereck

Der Flächeninhalt des Drachenvierecks aus der Beispielaufgabe beträgt also:

A = e · f
2
A = 4,3 cm · 3,2 cm
2
A = 13,76 cm²
2

A = 6,88 cm²

Berechnung der Seiten/Diagonalen eines Drachenvierecks bei gegebenem Umfang/Flächeninhalt und gegebener Seite/Diagonale

Die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Drachenvierecks lassen sich natürlich umstellen, falls der Umfang und eine Seite usw. gegeben ist. Folgende Varianten sind möglich und werden geübt:

gegebengesuchtFormel
Umfang, Seite aSeite b

u = 2 · (a + b) | : 2

u = a + b | - a
2
u - a = b
2
b = u - a
2
Umfang, Seite bSeite a

u = 2 · (a + b) | : 2

u = a + b | - b
2
u - b = a
2
a = u - b
2
Fläche, Diagonale eDiagonale f
A = e · f | · 2
2

2A = e · f | : e

2A = f
e
f = 2A
e
Fläche, Diagonale fDiagonale e
A = e · f | · 2
2

2A = e · f | : f

2A = e
f
e = 2A
f

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise

1. Teilaufgabe

gesucht: Umfang

Ergebnis: 11 dm

Lösungshinweise:

gegeben: Drachenviereck mit den Seiten a = 2 dm und b = 3,5 dm

gesucht: Umfang u

Lösung: u = 2 · (a + b)

u = 2 · (2 dm + 3,5 dm)

u = 11 dm

2. Teilaufgabe

gesucht: Flächeninhalt

Ergebnis: 6,88 dm²

Lösungshinweise:

gegeben: Drachenviereck mit den Diagonalen e = 4,3 dm und f = 3,2 dm

gesucht: Flächeninhalt A

Lösung:

A = e · f
2
A = 4,3 dm · 3,2 dm
2

A = 6,88 dm²