Liesel
Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben

6.5 Parallelogramme

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

Gegeben ist ein Parallelogramm mit den Seiten a = 18 dm und b = 10,5 dm und der Höhe h = 8,4 dm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!
Parallelogramm
Gesucht
1.)Umfang: dm
2.)Flächeninhalt:  dm²

Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:

Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden.

Die Parallelogramme in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.

Grundwissen zu Parallelogrammen

Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Übliche Bezeichnungen im Parallelogramm sind:

Die Bezeichnung erfolgt jeweils entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn.

Für das Parallelogramm gilt:

Berechnung des Umfangs eines Parallelogramms

Den Umfang des Parallelogramms berechnet man durch Addition der vier Seiten. Da die Seiten a, c und b, d gleich lang sind, ergibt sich folgende Formel:

u = 2a + 2b = 2(a + b)

Der Umfang des Parallelogramms aus der Beispielaufgabe beträgt also:

u = 2 · (18 dm + 10,5 dm)

u = 2 · 28,5 dm

u = 57 dm

Berechnung der Fläche eines Parallelogramms

Herleitung der Formel

Wir konstruieren ein beliebiges Parallelogram mit den Eckpunkten A, B, C, D.
Parallelogramm
Wir zeichnen die Höhe ausgehend vom Punkt D auf die Seite a. Den Schnittpunkt der Höhe und der Seite a nennen wir E. Dadurch entsteht das rechtwinklige Dreieck AED.
Parallelogramm
Wir verschieben das Dreieck AED nach rechts, bis der Punkt A auf Punkt B liegt.
Parallelogramm
Das entstandene Rechteck hat einen Flächeninhalt von a · h (Seite mal Höhe). Da die Fläche des Rechtecks gleich der Fläche des Parallelogramms ist, lautet die Formel zu Berechnung der Fläche des Parallelogramms also:

A = a · h

Parallelogramm

Der Flächeninhalt des Parallelogramms aus der Beispielaufgabe beträgt also:

A = a · h

A = 18 dm · 8,4 dm

A = 151,2 dm²

Berechnung der Seiten/Höhe eines Parallelogramms bei gegebenem Umfang/Flächeninhalt

Die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhalts eines Parallelogramms lassen sich natürlich umstellen, falls der Umfang und eine Seite usw. gegeben ist. Folgende Varianten sind möglich und werden geübt:

gegebengesuchtFormel
Umfang, Seite aSeite b

u = 2 · (a + b) | : 2

u = a + b | - a
2
u - a = b
2
a = u - a
2
Umfang, Seite bSeite a

u = 2 · (a + b) | : 2

u = a + b | - b
2
u - b = a
2
a = u - b
2
Fläche, Seite aHöhe h

A = a · h | : a

A = h
a
h = A
a
Fläche, Höhe hSeite a

A = a · h | : h

A = a
h
a = A
h

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise

1. Teilaufgabe

gesucht: Umfang

Ergebnis: 57 dm

Lösungshinweise:

gegeben: Parallelogramm mit den Seiten a = 18 dm und b = 10,5 dm

gesucht: Umfang u

Lösung: u = 2 · (a + b)

u = 2 · (18 dm + 10,5 dm)

u = 57 dm

2. Teilaufgabe

gesucht: Flächeninhalt

Ergebnis: 151,2 dm²

Lösungshinweise:

gegeben: Parallelogramm mit der Seite a = 18 dm und der Höhe h = 8,4 dm

gesucht: Flächeninhalt A

Lösung:

A = a · h

A = 18 dm · 8,4 dm

A = 151,2 dm²