Liesel
Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben

6.4 Gleichseitige Dreiecke

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit einer Seitenlänge von 4 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!
gleichseitiges Dreieck
Gesucht
1.)Umfang: cm
2.)Flächeninhalt:  cm²

Je nach dem, was gegeben ist, werden folgende Berechnungen geübt:

Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen nach dem Komma zu runden.

Die Berechnungen sind recht einfach. Neben den Grundrechenarten sind bei Anwendung des Satzes des Pythagoras und des Höhensatzes auch Wurzeln zu ziehen, was mit dem Taschenrechner oder Wurzeltabellen in Formelsammlungen oder Mathematikbüchern geht.

Die Dreiecke in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.

Hinweis: Trigonometrische Fragestellungen, also nach Winkeln und deren Bestimmung unter Verwendung von Winkelfunktionen spielen bei diesen Aufgaben keine Rolle.

Grundwissen zu gleichseitigen Dreiecken

gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten (a = b = c) und drei gleich großen Winkeln (α = β = γ = 60°).

Die Höhe hc halbiert Seite c. Die beiden dadurch entstehenden Dreiecke mit den Seiten hc, a, a/2 und hc, b, a/2 sind rechtwinklig und gleich groß. Für die Höhen auf die Seiten a und b gilt dasselbe.

Da in rechtwinkligen Dreiecken der Satz des Pythagoras gilt, kann bei bekannter Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks die Höhe oder bei bekannter Höhe die Seitenlänge berechnet werden.

Das wiederum bedeutet, dass bei gleichseitigen Dreiecken eine gegebene Größe (Seitenlänge oder Höhe) auch ausreicht, um Umfang und Flächeninhalt zu berechnen. Bei rechtwinkligen Dreiecken braucht man mindestens zwei gegebene Größen.

Wie das geht, wird im Folgenden im Detail gezeigt.

Berechnung der Höhe eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener Seitenlänge

Herleitung der Formel

Bekanntlich gilt nach dem Satz des Pythagoras a² + b² = c². Für das Dreieck in unserem Fall gilt bei Verwendung von a für alle Seiten daher:

Satz des PythagorasWir stellen nach h um, indem wir a Halbe im Quadrat subtrahieren.
Satz des PythagorasSchon an dieser Stelle könnte man den Wert von a in die Formel einsetzen, berechnen und mit der Wurzel aus h² zum Ergebnis gelangen. Dazu wären fünf Rechenschritte notwendig. Wir aber gehen weiter, weil sich die Formel vereinfachen lässt, da sie nur zwei Variablen enthält. Möglicherweise lassen sich also ein paar Rechenschritte einsparen. Zuerst multiplizieren wir a Halbe im Quadrat aus.
h² = a² - 
4
Wir erweitern a² mit 4, um subtrahieren zu können, aber findige Köpfe sehen hier schon, dass wenn man von etwas Ganzem ein Viertel abzieht, sicherlich drei Viertel übrig bleiben.
h² = 4a² - 
44
Wir subtrahieren a² von 4a².
h² = 3a²
4
Wir ziehen die Wurzel mit ausführlicher Schreibweise, anstatt das Wurzelzeichen um den gesamten Term zu platzieren, um die folgende Vereinfachung deutlich zu machen.
h = 3 ·
4
Wir vereinfachen die Wurzeln aus a² zu a und die Wurzel aus 4 zu 2.
h = 3 · a
2
Wer die Wurzel aus 3 gerne hinten stehen lassen will, kann auch die Operanden vertauschen.
h = a · 3
2
So sieht die Formel recht übersichtlich aus und lässt sich als Satz leicht merken: Im gleichseitigen Dreieck ist Höhe gleich halbe Seitenlänge mal Wurzel aus drei. Das sind zwei Rechenschritte, wenn man den Taschenrechner verwendet.

Beispiellösung nach Satz des Pythagoras

erster SchrittWir setzen für a die in der Beispielaufgabe oben gegebene Seitenlänge von 4 cm ein, auf die Einheit verzichten wir der Übersichtlichkeit halber.
zweiter SchrittWir berechnen die Quadrate.
dritter SchrittWir kürzen die 16 Viertel.
h = 16 - 4Wir bilden die Differenz.
h = 12Wir ziehen die Wurzel aus 12.
h = 3,46 cmDas Ergebnis ist auf zwei Stellen von 3,4641016... gerundet.

Beispiellösung mit Formel speziell für gleichseitige Dreiecke

h=a · 3
2
Wir setzen für a die gegebene Seitenlänge von 4 cm ein und verzichten auch hier auf die Einheit.
h=4 · 3
2
Wir kürzen mit zwei.
h=h2 · 3
Wir berechnen das Produkt.
h = 3,46 cm
Das Ergebnis ist auf zwei Stellen von 3,4641... gerundet.

Berechnung der Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener Höhe

Herleitung der Formel

Bei der Berechnung der Höhe weiter oben wurde bereits die entsprechende Formel hergeleitet. Sie enthält nur zwei Variablen, nämlich h und a. Nun stellen wir diese Formel nach a um, damit wir bei gegebener Höhe die Seitenlänge berechnen können.

h = a · 3
2
Wir dividieren durch Wurzel aus drei.
h = a
32
Wir multiplizieren mit zwei.
2h = a
3
Zum Schluss vertauschen wird die Seiten, damit die gesuchte Größe a auf der linken Seite steht.
a = 2h
3
Das war es schon, allerdings sollte man nicht vergessen, dass die Herleitung der Formel für die Höhe weiter oben einige Schritte mehr benötigt hat. Man hätte natürlich auch hier mit der Umformung beim Satz des Pythagoras beginnen können - wer will, kann es ausprobieren.

Beispiellösung mit Anwendung der Formel für einen gegebene Höhe von 3,46 cm

a = 2h
3
Wir setzen für h die weiter oben berechnete Höhe von 3,46 cm ein, auf die Einheit verzichten wir der Übersichtlichkeit halber.
a = 2 · 3,46
3
Wir berechnen das Produkt.
a = 6,92
3
Wir berechnen den Quotienten aus 6,92 und der Wurzel aus drei.
a = 4 cm
Das Ergebnis ist von 3,995... gerundet.

Übrigens: Dass als Seitenlänge nicht exakt 4 cm herauskommen, liegt an der Verwendung des gerundeten Ergebnisses von 3,46 cm für die Höhe h. Verwendet man statt dessen für die Höhe den Wert von √12 (s.o.), erhält man auch ohne zu runden eine Seitenlänge von 4 cm. Man sollte also im Hinterkopf behalten, dass es beim Rechnen mit gerundeten Werten von Wurzeln zu leichten Abweichungen kommen kann.

Berechnung des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener Seitenlänge

Herleitung der Formel

Da alle drei Seiten eines gleichseitigen Dreiecks gleich lang sind, berechnet man den Umfang durch Multiplikation:

u = 3 · a

Beispiellösung für Berechnung des Umfangs bei gegebener Seitenlänge

Wir setzen für a 4 cm ein und lösen:

u = 3 · 4 cm

u = 12 cm

Berechnung des Umfangs eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener Höhe

Herleitung der Formel

Sollte nur die Höhe gegeben sein, so ersetzt man a in der Formel durch zwei h geteilt durch Wurzel aus drei (s.o.)

u = 3 · 2h
3
Wir multiplizieren die drei mit den zwei h.
u = 6h
3

Beispiellösung für Berechnung des Umfangs bei gegebener Höhe

Wir verwenden wieder die weiter oben berechnet Höhe von 3,46 cm.

u =  6 · 3,46
3
3,46 für h einsetzen und lösen.
u = 12 cm
Das Ergebnis ist auf zwei Stellen von 11,98579... gerundet.

Übrigens: Dass als Umfang nicht exakt 12 cm herauskommen, liegt an der Verwendung des gerundeten Ergebnisses von 3,46 cm für die Höhe h. Verwendet man statt dessen für die Höhe den Wert von √12 (s.o.), erhält man auch ohne zu runden einen von 12 cm.

Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener Seitenlänge und Höhe

Herleitung der Formel

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken (Grundseite mal Höhe geteilt durch 2) lässt sich natürlich auch auf gleichseitige Dreiecke anwenden. Besonders einfach ist das, wenn Seitenlänge und Höhe bereits bekannt sind.

A = g · h
2
Wir ersetzen nur die Grundseite g durch a und haben bereits die fertige Formel.
A = a · h
2
Das war's schon.

Beispiellösung für Berechnung der Fläche bei gegebener Seitenlänge und Höhe

A = g · h
2
Wir setzen für a die in der Beispielaufgabe oben gegebene Seitenlänge von 4 cm und die bereits berechnete Höhe von 3,46 cm ein, auf die Einheit verzichten wir der Übersichtlichkeit halber.
A = 4 · 3,46
2
Wir lösen die Multiplikation und die Division oder kürzen mit 2, sodass nur eine Multiplikation übrig bleibt.
A = 6,92 cm²

Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener Seitenlänge

Herleitung der Formel

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken (Grundseite mal Höhe geteilt durch 2) lässt sich auch auf gleichseitige Dreiecke anwenden, wenn nur die Seitenlänge bekannt ist.

A = a · h
2
Da die Höhe h nicht bekannt ist, verwenden wir die weiter oben hergeleitete Formel für die Höhe h. Bevor wir h ersetzen, ändern wir die Schreibweise der Formel ein wenig, in dem wir das h aus dem Bruch nehmen.
A = a · h
2
Nun ersetzen wir h mit a Halbe mal Wurzel aus drei.
A = a · a · 3
22
Die beiden halben a lassen sich zusammenfassen.
A = a2 · 3
4

Beispiellösung für Berechnung der Fläche bei gegebener Seitenlänge

A = a2 · 3
4
Wir setzen für a die in der Beispielaufgabe oben gegebene Seitenlänge von 4 cm ein, auf die Einheit verzichten wir der Übersichtlichkeit halber.
A = 42 · 3
4
Wir nehmen vier zum Quadrat.
A = 16 · 3
4
Wir kürzen mit vier und multiplizieren als Letztes mit Wurzel aus drei, weil das so eine lange Zahl ist (1,7320508075688772935274463415059). Dann muss auch nur am Ende gerundet werden. Bei Verwendung des Taschenrechners empfiehlt es sich, den Wert für √3 zu speichern, falls man mehrere Aufgaben hintereinander rechnet. Das spart ein paar Tastendrucke.
A = 6,93 cm²
Das Ergebnis ist auf zwei Stellen von 6,92820323... gerundet.

Berechnung der Fläche eines gleichseitigen Dreiecks bei gegebener Höhe

Herleitung der Formel

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken (Grundseite mal Höhe geteilt durch 2) lässt sich natürlich auch auf gleichseitige Dreiecke anwenden, wenn nur die Höhe bekannt ist.

A = a · h
2
Da die Seite a nicht bekannt ist, verwenden wir die weiter oben hergeleitete Formel für die Darstellung von a mit Hilfe der Höhe h. Bevor wir a ersetzen, ändern wir die Schreibweise der Formel ein wenig, in dem wir das a aus dem Bruch nehmen.
A = a · h
2
Nun ersetzen wir a durch 2h geteilt durch Wurzel aus drei.
A = 2h · h
32
Die zwei lässt sich kürzen und h mal h zu h² zusammenfassen.
A = 
3
Das war's schon.

Beispiellösung für Berechnung der Fläche bei gegebener Höhe

A = 
3
Wir setzen für h eine angenommene Höhe von 3,46 cm ein, auf die Einheit verzichten wir der Übersichtlichkeit halber.
A = 3,46²
3
Wir lösen.
A = 6,91 cm²
Das Ergebnis ist auf zwei Stellen gerundet (von 6,911806482...). Dass das Ergebnis geringfügig von der Berechnung mit der Seitenlänge von 4 cm abweicht, liegt daran, dass für die Höhe der gerundete Wert von 3,46 anstatt √12 (s.o.) verwendet wurde.

Abschließender Hinweis zu den Formeln

Die Formeln zu den Berechnungen bei gleichseitigen Dreiecken sind keine besonderen Formeln, sondern Umstellungen des Satzes des Pythagoras, der Formel zur Berechnung des Umfangs (Summe aller Seiten) und der allgemeinen Formel zur Flächenberechnung (Dreiecksfläche gleich Hälfte von Grundseite mal Höhe). Man muss die Formeln nicht unbedingt lernen, sondern kann sie auch immer im Bedarfsfall herleiten.

Alle Umformungen beruhen darauf, dass die Seiten gleich lang sind und die Höhe auf eine Seite diese halbiert.

Beim Lösen sollte man so lange wie möglich mit den Wurzeln rechnen, um Abweichungen aufgrund von Rundungsfehlern zu vermeiden.

Zum Schluss noch ein Hinweis für kluge Köpfe: Auch bei gegebenem Umfang oder gegebener Fläche lassen sich die Höhe und die Seitenlänge ermitteln. Wer möchte, kann die entsprechenden Formeln selbst umstellen. Allerdings geht das nur bei gleichseitigen Dreiecken. Auch sind Aufgaben wie "Berechne die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks, das eine Fläche von 15 cm² hat!" recht selten, so richtig schwer sind sie aber nicht.

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise

1. Teilaufgabe

gesucht: Umfang

Ergebnis: 12 dm

Lösungshinweise:

gegeben: Dreieck mit den Seiten a = b = c = 4 dm

gesucht: Umfang u

Lösung: u = 3a

u = 3 · 4 dm

u = 12 dm

2. Teilaufgabe

gesucht: Flächeninhalt

Ergebnis: 6,93 dm²

Lösungshinweise:

gegeben: Dreieck mit den Seiten a = b = c = 4 dm

gesucht: Flächeninhalt A

Lösung:

A = a2 · 3
4
A = (4 dm)2 · 3
4
A = 16 dm² · 3
4

A = 4 dm²  · 3

A = 6,93 dm² (gerundet von 6,928203230275509)