5.3 Volumen (Körper)

Maßeinheiten stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander. Dieses Verhältnis wird durch einen bestimmten Faktor, den Umrechnungsfaktor, repräsentiert.

Rechnet man von der größeren in die kleiner Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangseinheit mit dem Umrechnungsfaktor.

Rechnet man hingegen von der kleineren in die größere Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangseinheit mit dem Kehrwert Umrechnungsfaktors oder dividiert den Betrag der Ausgangseinheit durch den Umrechnungsfaktor, was mathematisch dasselbe ist.

Faktoren für die Umrechnung von größeren Einheiten in die nächstkleineren Einheiten:

Um in beliebige kleinere Einheiten umzurechnen, muss man alle Umrechnungsfaktoren von der Ausgangseinheit bis zu Zieleinheit miteinander multiplizieren.

Beispiel für die Umrechnung von km³ mit Potenzschreibweise, da es durch die vielen Nullen schnell unübersichtlich wird:

Rechnet man von der kleineren in die größere Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangs­einheit mit dem Kehrwert des Faktors oder teilt den Betrag der Ausgangseinheit durch den Faktor, was mathematisch dasselbe ist:

Um in beliebige größere Einheiten umzurechnen, muss man wieder alle Umrechnungsfaktoren von der Ausgangseinheit bis zu Zieleinheit miteinander multiplizieren.

Beispiel für die Umrechnung von mm³ mit Potenzschreibweise, da es durch die vielen Nullen schnell unübersichtlich wird:

Praktische Hinweise zum Umrechnen

Da die Umrechnungsfaktoren bei den metrischen Flächeneinheiten immer 10 bzw. ein Vielfaches von 10 sind, muss man beim Umrechnen nicht wirklich "rechnen", sondern man verschiebt nur das Dezimalzeichen, also das Komma, und hängt Nullen an bzw. lässt sie weg.

Hier ein paar Beispiele dafür, was damit gemeint ist:

Größere in kleinere Einheit umrechnen:

2,5 km³ in m³: Umrechnungsfaktor: 1.000.000.000 => Anzahl der Nullen: 9 Ergebnis: 2.500.000.000 m³

Da der Faktor 9 Nullen enthält, muss das Komma von 2,5 neun Stellen nach rechts verschoben werden.

Da nach der 5 in 2,5 keine weiteren Stellen folgen, füllen wir noch 8 Nullen auf.

Kleinere in größere Einheit umrechnen:

25 mm³ in dm³: Umrechnungsfaktor: 1.000.000 => Anzahl der Nullen: 6 Ergebnis: 0,000025 dm³

Da der Faktor 6 Nullen enthält, muss das Komma von 25 (= 25,0 mm³) 6 Stellen nach links verschoben werden.

Da nach der 2 in 25 keine weiteren Stellen folgen, füllen wir noch 4 Nullen auf, schreiben das Komma und eine führende Null dazu, denn die Zahl ,000025 gibt es nicht.

Verwenden von Zehnerpotenzen für den Umrechnungsfaktor

Falls du schon mit Zehnerpotenzen umgehen kannst, wird das Umrechnen noch etwas einfacher, da der Exponent die Anzahl der Nullen zeigt - man muss also bei großen Umrechnungsfaktoren nicht die vielen Nullen zählen.

Verwendet man die Potenzschreibweise, so gilt:

10 = 10¹, 100 = 10², 1000 = 10³, 10.000 = 10⁴, usw.

Rechnet man von der größeren in die kleiner Einheit um, so sieht man anhand des Exponenten, dass man das Komma um 1, 2, 3 usw. Stellen nach rechts verschieben muss.

Bei der Umrechnung von der kleineren in die größere Einheit verwendet man den Kehrwert des Umrechnungsfaktors:

Das Minuszeichen vor dem Exponenten ist dabei das Signal, dass das Komma um die entsprechende Anzahl von Stellen nach links verschoben werden muss.

Üblicherweise merkt man sich zum Umrechnen von der Ausgangseinheit in die Zieleinheit einen Faktor:

1 m³ = 1000 dm³ => Umrechnungsfaktor: 1000

Wie kommt man aber von Kubikmetern auf Kubikdezimeter?

Das "Geheimnis" ist, dass man den Faktor als Kurzschreibform für eine Verhältnisgleichung verwendet. Man geht nämlich davon aus, dass das Verhältnis von 1 m³ zu 1000 dm³ das gleiche ist, wie das des Betrages der Ausgangseinheit zum Betrag der Zieleinheit.

Nehmen wir an, wir wollen wissen, wie viel Kubikdezimeter 2,5 Kubikmeter sind. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:

Wir stellen nach x um:

Wir kürzen die Einheit m³ und lösen:

x = 2500 dm³

Da man aber "weiß", dass beim Umrechnen die Zieleinheit "herauskommt", merkt man sich nur den Faktor und verwendet diesen ohne Einheiten, die sich sowieso immer zur Zieleinheit kürzen lassen.

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Eine Lösung sieht zum Beispiel so aus: