Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben zum Nachlesen
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5.3 Volumen (Körper)

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

GegebenGesucht
1.)50 mm³ =  cm³
2.)95 cm³ =  mm³
3.)0,6 dm³ =  mm³
4.)5.000 m³ =  km³
5.)1 km³ =  dm³

Geübt wird das Umrechnen der Einheiten:

Bei Interesse findest du weitere Einheiten unter https://www.unitjuggler.com/volume-konvertieren.html.

Hinweise zum Umrechnen

Maßeinheiten stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander. Dieses Verhältnis wird durch einen bestimmten Faktor, den Umrechnungsfaktor, repräsentiert.

Rechnet man von der größeren in die kleinere Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangseinheit mit dem Umrechnungsfaktor.

Rechnet man hingegen von der kleineren in die größere Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangseinheit mit dem Kehrwert Umrechnungsfaktors oder dividiert den Betrag der Ausgangseinheit durch den Umrechnungsfaktor, was mathematisch dasselbe ist.

Faktoren für die Umrechnung von größeren Einheiten in die nächstkleineren Einheiten:

AusgangseinheitZieleinheitUmrechnungsfaktorBeispiel
km³1.000.000.000 = 1091 km³ · 1.000.000.000 = 1.000.000.000 m³
dm³1000 = 1031 m³ · 1000 = 1000 dm³
dm³cm³1000 = 1031 dm³ · 1000 = 1000 cm³
cm³mm³1000 = 1031 cm³ · 1000 = 1000 mm³

Um in beliebige kleinere Einheiten umzurechnen, muss man alle Umrechnungsfaktoren von der Ausgangseinheit bis zu Zieleinheit miteinander multiplizieren.

Beispiel für die Umrechnung von km³ mit Potenzschreibweise, da es durch die vielen Nullen schnell unübersichtlich wird:

AusgangseinheitZieleinheitUmrechnungsfaktorBeispiel
km³dm³109 · 103 = 10121 km³ · 108 = 10.000.000 dm³
km³cm³109 · 103 · 103 = 10151 km³ · 1015 = 100.000.000.000.000 cm³
km³mm³109 · 103 · 103 · 103 = 10181 km³ · 1018 = 1.000.000.000.000.000.000  mm³

Rechnet man von der kleineren in die größere Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangs­einheit mit dem Kehrwert des Faktors oder teilt den Betrag der Ausgangseinheit durch den Faktor, was mathematisch dasselbe ist:

AusgangseinheitZieleinheitUmrechnungsfaktorBeispiel
mm³cm³1000 = 103
1 mm³ · 1 = 0,001 cm³
103
cm³dm³1000 = 103
1 cm³ · 1 = 0,001 dm³
103
dm³1000 = 103
1 dm³ · 1 = 0,001 m³
103
km³1.000.000.000 = 109
1 m³ · 1 = 0,000000001 km³
109

Um in beliebige größere Einheiten umzurechnen, muss man wieder alle Umrechnungsfaktoren von der Ausgangseinheit bis zu Zieleinheit miteinander multiplizieren.

Beispiel für die Umrechnung von mm³ mit Potenzschreibweise, da es durch die vielen Nullen schnell unübersichtlich wird:

AusgangseinheitZieleinheitUmrechnungsfaktorBeispiel
mm³dm³103 · 103 = 106
1 mm³ · 1 = 0,000001 dm³
106
mm³103 · 103 · 103 = 109
1 mm³ · 1 = 0,000000001 m³
109
mm³km³103 · 103 · 103 · 109 = 1018
1 mm³ · 1 = 0,000000000000000001 km³
1018

Praktische Hinweise zum Umrechnen

Da die Umrechnungsfaktoren bei den metrischen Flächeneinheiten immer 10 bzw. ein Vielfaches von 10 sind, muss man beim Umrechnen nicht wirklich "rechnen", sondern man verschiebt nur das Dezimalzeichen, also das Komma, und hängt Nullen an bzw. lässt sie weg.

Hier ein paar Beispiele dafür, was damit gemeint ist:

Größere in kleinere Einheit umrechnen:

2,5 km³ in m³: Umrechnungsfaktor: 1.000.000.000 => Anzahl der Nullen: 9 Ergebnis: 2.500.000.000 m³

Da der Faktor 9 Nullen enthält, muss das Komma von 2,5 neun Stellen nach rechts verschoben werden.

Da nach der 5 in 2,5 keine weiteren Stellen folgen, füllen wir noch 8 Nullen auf.

Kleinere in größere Einheit umrechnen:

25 mm³ in dm³: Umrechnungsfaktor: 1.000.000 => Anzahl der Nullen: 6 Ergebnis: 0,000025 dm³

Da der Faktor 6 Nullen enthält, muss das Komma von 25 (= 25,0 mm³) 6 Stellen nach links verschoben werden.

Da nach der 2 in 25 keine weiteren Stellen folgen, füllen wir noch 4 Nullen auf, schreiben das Komma und eine führende Null dazu, denn die Zahl ,000025 gibt es nicht.

Verwenden von Zehnerpotenzen für den Umrechnungsfaktor

Falls du schon mit Zehnerpotenzen umgehen kannst, wird das Umrechnen noch etwas einfacher, da der Exponent die Anzahl der Nullen zeigt - man muss also bei großen Umrechnungsfaktoren nicht die vielen Nullen zählen.

Verwendet man die Potenzschreibweise, so gilt:

10 = 101, 100 = 102, 1000 = 103, 10.000 = 104, usw.

Rechnet man von der größeren in die kleinere Einheit um, so sieht man anhand des Exponenten, dass man das Komma um 1, 2, 3 usw. Stellen nach rechts verschieben muss.

Bei der Umrechnung von der kleineren in die größere Einheit verwendet man den Kehrwert des Umrechnungsfaktors:

1 = 10-1 , 1 = 10-2 , 1 = 10-3 , 1 = 10-4 , usw.
10102103104

Das Minuszeichen vor dem Exponenten ist dabei das Signal, dass das Komma um die entsprechende Anzahl von Stellen nach links verschoben werden muss.

Der Umrechnungsfaktor und die Einheit

Üblicherweise merkt man sich zum Umrechnen von der Ausgangseinheit in die Zieleinheit einen Faktor:

1 m³ = 1000 dm³ => Umrechnungsfaktor: 1000

Wie kommt man aber von Kubikmetern auf Kubikdezimeter?

Das "Geheimnis" ist, dass man den Faktor als Kurzschreibform für eine Verhältnisgleichung verwendet. Man geht nämlich davon aus, dass das Verhältnis von 1 m³ zu 1000 dm³ das gleiche ist, wie das des Betrages der Ausgangseinheit zum Betrag der Zieleinheit.

Nehmen wir an, wir wollen wissen, wie viel Kubikdezimeter 2,5 Kubikmeter sind. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:

1 m³ = 2,5 m³
1000 dm³x

Wir stellen nach x um:

x = 1000 dm³ · 2,5 m³
1 m³

Wir kürzen die Einheit m³ und lösen:

x = 2500 dm³

Da man aber "weiß", dass beim Umrechnen die Zieleinheit "herauskommt", merkt man sich nur den Faktor und verwendet diesen ohne Einheiten, die sich sowieso immer zur Zieleinheit kürzen lassen.

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise
1.)50 mm³  in cm³501 mm³ = 0,001 cm³ bzw. 1 mm³ = 1 · 10-3 cm³
50 mm³ · 10-3 = 0,05 cm³
2.)95 cm³  in mm³951 cm³ = 1.000 mm³ bzw. 1 cm³ = 1 · 103 mm³
95 cm³ · 103 = 95.000 mm³
3.)0,6 dm³  in mm³0,61 dm³ = 1.000.000 mm³ bzw. 1 dm³ = 1 · 106 mm³
0,6 dm³ · 106 = 600.000 mm³
4.)5.000 m³  in km³50001 m³ = 0,000000001 km³ bzw. 1 m³ = 1 · 10-9 km³
5.000 m³ · 10-9 = 0,000005 km³
5.)1 km³  in dm³11 km³ = 1.000.000.000.000 dm³ bzw. 1 km³ = 1 · 1012 dm³
1 km³ · 1012 = 1.000.000.000.000 dm³
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