Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben zum Nachlesen
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5.2 Flächen

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

GegebenGesucht
1.)750 mm² =  cm²
2.)29,3 cm² =  mm²
3.)46,11 dm² =  cm²
4.)35.000 m² =  ha
5.)7.700 ha =  km²
6.)2,5 km² =  ha

Geübt wird das Umrechnen der Einheiten:

Bei Interesse findest du weitere Einheiten unter https://www.unitjuggler.com/area-konvertieren.html.

Hinweise zum Umrechnen

Maßeinheiten stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander. Dieses Verhältnis wird durch einen bestimmten Faktor, den Umrechnungsfaktor, repräsentiert.

Rechnet man von der größeren in die kleinere Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangseinheit mit dem Umrechnungsfaktor.

Rechnet man hingegen von der kleineren in die größere Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangseinheit mit dem Kehrwert Umrechnungsfaktors oder dividiert den Betrag der Ausgangseinheit durch den Umrechnungsfaktor, was mathematisch dasselbe ist.

Faktoren für die Umrechnung von größeren Einheiten in die nächstkleineren Einheiten:

AusgangseinheitZieleinheitUmrechnungsfaktorBeispiel
km²ha1001 km² · 100 = 100 ha
ha10.0001 km² · 10.000 = 10.000 m²
dm²1001 m² · 100 = 100 dm²
dm²cm²1001 dm² · 100 = 100 cm²
cm²mm²1001 cm² · 100 = 100 mm²

Um in beliebige kleinere Einheiten umzurechnen, muss man alle Umrechnungsfaktoren von der Ausgangseinheit bis zu Zieleinheit miteinander multiplizieren.

Beispiel für die Umrechnung von km² mit Potenzschreibweise, da es durch die vielen Nullen schnell unübersichtlich wird:

AusgangseinheitZieleinheitUmrechnungsfaktorBeispiel
km²100 · 10.000 = 1061 km² · 106 = 1.000.000 m²
km²dm²100 · 10.000 · 100 = 1081 km² · 108 = 10.000.000 dm²
km²cm²100 · 10.000 · 100 · 100 = 10101 km² · 1010 = 100.000.000 cm²
km²mm²100 · 10.000 · 100 · 100 · 100 = 10121 km² · 1012 = 10.000.000.000  mm²

Rechnet man von der kleineren in die größere Einheit um, so multipliziert man den Betrag der Ausgangs­einheit mit dem Kehrwert des Faktors oder teilt den Betrag der Ausgangseinheit durch den Faktor, was mathematisch dasselbe ist:

AusgangseinheitZieleinheitUmrechnungsfaktorBeispiel
mm²cm²100
1 mm² · 1 = 0,01 cm²
100
cm²dm²100
1 cm² · 1 = 0,01 dm²
100
dm²100
1 dm² · 1 = 0,01 m²
100
ha10.000
1 m² · 1 = 0,0001 ha
10.000
hakm²100
1 m² · 1 = 0,01 km²
100

Um in beliebige größere Einheiten umzurechnen, muss man wieder alle Umrechnungsfaktoren von der Ausgangseinheit bis zu Zieleinheit miteinander multiplizieren.

Beispiel für die Umrechnung von mm² mit Potenzschreibweise, da es durch die vielen Nullen schnell unübersichtlich wird:

AusgangseinheitZieleinheitUmrechnungsfaktorBeispiel
mm²dm²100 · 100 = 104
1 mm² · 1 = 0,0001 dm²
104
mm²100 · 100 · 100 = 106
1 mm² · 1 = 0,000001 m²
106
mm²ha100 · 100 · 100 · 10.000 = 108
1 mm² · 1 = 0,00000001 ha
108
mm²km²100 · 100 · 100 · 10.000 · 100 = 1012
1 mm² · 1 = 0,000000000001 km²
108

Praktische Hinweise zum Umrechnen

Da die Umrechnungsfaktoren bei den metrischen Flächeneinheiten immer 10 bzw. ein Vielfaches von 10 sind, muss man beim Umrechnen nicht wirklich "rechnen", sondern man verschiebt nur das Dezimalzeichen, also das Komma, und hängt Nullen an bzw. lässt sie weg.

Hier ein paar Beispiele dafür, was damit gemeint ist:

Größere in kleinere Einheit umrechnen:

2,5 km² in m²: Umrechnungsfaktor: 1.000.000 => Anzahl der Nullen: 6 Ergebnis: 2.500.000 m²

Da der Faktor 6 Nullen enthält, muss das Komma von 2,5 sechs Stellen nach rechts verschoben werden.

Da nach der 5 in 2,5 keine weiteren Stellen folgen, füllen wir noch 5 Nullen auf.

Kleinere in größere Einheit umrechnen:

25 mm² in km²: Umrechnungsfaktor: 1.000.000.000.000 => Anzahl der Nullen: 12 Ergebnis: 0,000000000025 km²

Da der Faktor 12 Nullen enthält, muss das Komma von 25 (= 25,0 mm²) 12 Stellen nach links verschoben werden.

Da nach der 2 in 25 keine weiteren Stellen folgen, füllen wir noch 10 Nullen auf, schreiben das Komma und schreiben eine führende Null dazu, denn die Zahl ,000000000025 gibt es nicht.

Verwenden von Zehnerpotenzen für den Umrechnungsfaktor

Falls du schon mit Zehnerpotenzen umgehen kannst, wird das Umrechnen noch etwas einfacher, da der Exponent die Anzahl der Nullen zeigt - man muss also bei großen Umrechnungsfaktoren nicht die vielen Nullen zählen.

Verwendet man die Potenzschreibweise, so gilt:

10 = 101, 100 = 102, 1000 = 103, 10.000 = 104, usw.

Rechnet man von der größeren in die kleinere Einheit um, so sieht man anhand des Exponenten, dass man das Komma um 1, 2, 3 usw. Stellen nach rechts verschieben muss.

Bei der Umrechnung von der kleineren in die größere Einheit verwendet man den Kehrwert des Umrechnungsfaktors:

1 = 10-1 , 1 = 10-2 , 1 = 10-3 , 1 = 10-4 , usw.
10102103104

Das Minuszeichen vor dem Exponenten ist dabei das Signal, dass das Komma um die entsprechende Anzahl von Stellen nach links verschoben werden muss.

Der Umrechnungsfaktor und die Einheit

Üblicherweise merkt man sich zum Umrechnen von der Ausgangseinheit in die Zieleinheit einen Faktor:

1 m² = 100 dm² => Umrechnungsfaktor: 100

Wie kommt man aber von Quadratmetern auf Quadratdezimeter?

Das "Geheimnis" ist, dass man den Faktor als Kurzschreibform für eine Verhältnisgleichung verwendet. Man geht nämlich davon aus, dass das Verhältnis von 1 m² zu 100 dm² das gleiche ist, wie das des Betrages der Ausgangseinheit zum Betrag der Zieleinheit.

Nehmen wir an, wir wollen wissen, wie viel Quadratdezimeter 2,5 Quadratmeter sind. Dazu stellen wir folgende Gleichung auf:

1 m² = 2,5 m²
100 dm²x

Wir stellen nach x um:

x = 100 dm² · 2,5 m²
1 m²

Wir kürzen die Einheit m² und lösen:

x = 250 dm²

Da man aber "weiß", dass beim Umrechnen die Zieleinheit "herauskommt", merkt man sich nur den Faktor und verwendet diesen ohne Einheiten, die sich sowieso immer zur Zieleinheit kürzen lassen.

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise
1.)750 mm²  in cm²7501 mm² = 0,01 cm² bzw. 1 mm² = 1 · 10-2 cm²
750 mm² · 10-2 = 7,5 cm²
2.)29,3 cm²  in mm²29,31 cm² = 100 mm² bzw. 1 cm² = 1 · 102 mm²
29,3 cm² · 102 = 2.930 mm²
3.)46,11 dm²  in cm²46,111 dm² = 100 cm² bzw. 1 dm² = 1 · 102 cm²
46,11 dm² · 102 = 4.611 cm²
4.)35.000 m²  in ha350001 m² = 0,0001 ha bzw. 1 m² = 1 · 10-4 ha
35.000 m² · 10-4 = 3,5 ha
5.)7.700 ha  in km²77001 ha = 0,01 km² bzw. 1 ha = 1 · 10-2 km²
7.700 ha · 10-2 = 77 km²
6.)2,5 km²  in ha2,51 km² = 100 ha bzw. 1 km² = 1 · 102 ha
2,5 km² · 102 = 250 ha
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