Goldesel
Goldesel: Hinweise zu den Aufgaben

2.4 Zinsrechnen: Kapitalberechnungen

Die Aufgaben

Bei diesen Aufgaben soll das Kapital berechnet werden, das notwendig ist, um in einem bestimmten Zeitraum bei einem bestimmten Zinssatz zu einem bestimmten Zinsertrag zu führen. Die Aufgaben können so aussehen:

Lösen Sie die Textaufgaben!

Nr.AufgabeErgebnis
1. Aufgabe Für welches Kapital mit einem Zinssatz von 7,00 % belastet die Bank das Konto des Sportklubs "Eintracht" nach 5 Jahren mit insgesamt 5.265,00 €?Ergebnis:  €
2. Aufgabe Welchen Betrag müsste man anlegen, um bei einem Zinssatz von 5,50 % für eine Laufzeit von 25 Jahren Zinsen in Höhe von 5.087,50 € zu erhalten?Ergebnis:  €
3. Aufgabe Für ein Darlehen mit einem Zinssatz von 5,20 % belastet die Bank das Konto der Import-Export-AG nach 1 Monat mit insgesamt 9.239,87 €. Wie hoch war das Darlehen?Ergebnis:  €
4. Aufgabe Ein Werkzeugmacher hat für 5 Tage ein Darlehen zu einem Zinssatz von 6,50 % aufgenommen. Nach Ablauf werden insgesamt 30.027,08 € an die Bank überwiesen. Berechnen Sie die Höhe des Darlehens!Ergebnis:  €

Die Formel

Um das Kapital K zu berechnen, stellen wir die Grundformel nach dem Kapital um:

Grundformel
Zinsen=Zinssatz · Zeit
Kapital100
Umstellung nach dem Kapital K
Zeit in Jahren
K=Zinsen · 100
Zinssatz · Zeit (n Jahre)
Zeit in Monaten
K=Zinsen · 100 · 12
Zinssatz · Zeit (n Monate)
Zeit in Tagen
K=Zinsen · 100 · 360
Zinssatz · Zeit (n Tage)

Für die Zeit ist die Anzahl von n Jahren, Monaten bzw. Tagen einzusetzen.

Bearbeitung der Aufgaben

Bei den Aufgaben sind zwei Fragestellungen möglich:

  1. Das Ausgangskapital ist bei gegebenem Zinsertrag zu berechnen.
  2. Das Ausgangskapital ist bei gegebenem vermehrtem Kapital (Ausgangskapital + Zinsertrag) zu berechnen.

1. Der Zinsertrag ist gegeben

Dieser Fall ist relativ einfach. Finden Sie zunächst anhand des Aufgabentextes die gegebenen Größen heraus. Achten Sie auf den Zeitraum (Jahre, Monate, Tage), um ihn in der Formel entsprechend zu berücksichtigen.

Sollten Sie beim Berechnen einen Fehler machen, können Sie mit Hilfe der Lösung herausfinden, worin er besteht.

AufgabeLösung
Welchen Betrag müsste man anlegen, um bei einem Zinssatz von 5,00 % für eine Laufzeit von 2 Jahren Zinsen in Höhe von 100,00 € zu erhalten?1.000,00 €
Lösungsschritte
1gegeben: Zinsen: 100,00 €, Zinssatz: 5,00 %, Laufzeit: 2 Jahre
2gesucht: Ausgangskapital K
3Formel: K = (Zinsen · 100) : (Zinssatz · Zeit)
4Lösung: K = (684,00 · 100) : (9,00 · 2)
5K = 1.000,00 €

2. Das vermehrte Ausgangskapital ist gegeben

Dieser Fall erfordert ein anderes Herangehen an die Lösung, denn der Zinsertrag ist nicht gegeben. Wir wissen jedoch:

  1. Ausgangskapital (entspricht 100 %) + Zinsen (x % von 100) = vermehrtes Kapital (entspricht 100 % + x %).
  2. Die Zinsen entsprechen also einem bestimmten Prozentsatz x des Ausgangskapitals.
  3. Dieser Prozentsatz lässt sich berechnen: x = Zinssatz · Laufzeit
  4. Da das Ausgangskapital 100 % und das vermehrte Kapital 100 % + x % entspricht, lässt sich eine einfache Verhältnisgleichung aufstellen und nach dem Ausgangskapital umformen:
Verhältnisgleichung
Ausgangskapital=100
vermehrtes Kapital100 + (Zinssatz · Laufzeit)
Umformung nach Ausgangskapital
Ausgangskapital=vermehrtes Kapital · 100
100 + (Zinssatz · Laufzeit)

Bitte beachten Sie, dass bei einer Laufzeit in Monaten bzw. Tagen der Prozentwert x entsprechend durch 12 bzw. 360 geteilt werden muss.

Beim Lösungsweg zu dieser Aufgabenvariante wird nicht gleich in die Formel eingesetzt, sondern in einem Zwischen­schritt der Prozentsatz x ausgerechnet. Dabei wird die Berücksichtigung der Monate bzw. Tage als Einheit für die Laufzeit deutlicher. Hier ein Beispiel (Laufzeit in Jahren):

AufgabeLösung
Bei einem Zinssatz von 5,00 % zahlt die Bank nach einer Laufzeit von 2 Jahren den Gesamtbetrag von 1.100,00 €. Welcher Betrag wurde angelegt?1.000,00 €
Lösungsschritte
1gegeben: vermehrtes Kapital: 1.100,00 €, Zinssatz: 5,00 %, Laufzeit: 2 Jahre
2gesucht: Ausgangskapital K
3Zwischenschritt: Prozentsatz x aus Zinsatz für die angegebene Laufzeit:
x = Zinssatz · Laufzeit
x = 5,00 · 2
x = 10
4Formel: K = (vermehrtes Kapital · 100) : (100 + x)
5Lösung: K = (1.100,00 € · 100) : (100 + 10)
6K = 1.000,00 €

Und noch ein Beispiel (Laufzeit in Monaten):

AufgabeLösung
Bei einem Zinssatz von 5,00 % zahlt die Bank nach einer Laufzeit von 18 Monaten den Gesamtbetrag von 1.075,00 €. Welcher Betrag wurde angelegt?1.000,00 €
Lösungsschritte
1gegeben: vermehrtes Kapital: 1.075,00 €, Zinssatz: 5,00 %, Laufzeit: 18 Monate
2gesucht: Ausgangskapital K
3Zwischenschritt: Prozentsatz x aus Zinsatz für die angegebene Laufzeit:
x = Zinssatz · Laufzeit
x = 5,00 · 18 : 12
x = 7,5
4Formel: K = (vermehrtes Kapital · 100) : (100 + x)
5Lösung: K = (1.075,00 € · 100) : (100 + 7,5)
6K = 1.000,00 €

Hinweis

Bei den Aufgaben werden Sie auch unrunde Ergebnisse erhalten. Das hat mit Rundungsfehlern (besser Toleranzen) zu tun, da man Geldbeträge nur auf zwei Stellen genau angibt. Man kann zwar mutmaßen, ob zum Beispiel ein berechnetes Ausgangskapital von 49.999,97 € vielleicht 50.000 € entspricht, aber es bleibt eine Mutmaßung, da wir es nicht wissen. Geben Sie also als Ergebnis immer den von Ihnen errechneten und auf 2 Stellen nach dem Komma gerundeten Betrag ein.

Viel Erfolg beim Üben.