Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben zum Nachlesen
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6.2 Rechtwinklige Dreiecke

Die Aufgaben

Eine Aufgabe sieht zum Beispiel so aus:

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Seiten a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt!
rechtwinkliges Dreieck
Gesucht
1.)Umfang: cm
2.)Flächeninhalt:  cm²

Je nach dem, was gegeben ist - zwei Seiten, drei Seiten, eine Seite und die Höhe oder ein Hypotenusenabschnitt oder Umfang oder Fläche - sind Umfang und Fläche oder fehlende Seiten und Umfang oder Fläche zu berechnen.

Ergebnisse sind - falls nötig - auf 2 Stellen zu runden.

Die Berechnungen sind recht einfach. Neben den Grundrechenarten sind bei Anwendung des Satzes des Pythagoras und des Höhensatzes auch Wurzeln zu ziehen, was mit dem Taschenrechner oder Wurzeltabellen in Formelsammlungen oder Mathematikbüchern geht.

Die Dreiecke in den Aufgaben werden mit Hilfe des Canvas-Elements gezeichnet, sofern der Browser dieses Element unterstützt. Aktuelle Browser tun das. Die Größenverhältnisse sind annähernd maßstabsgerecht.

Hinweis: Trigonometrische Fragestellungen, also nach Winkeln und deren Bestimmung unter Verwendung von Winkelfunktionen spielen bei diesen Aufgaben keine Rolle.

Grundwissen zu rechtwinkligen Dreiecken

rechtwinkliges Dreieck

Grundbegriffe:

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem 90°-Winkel (= rechter Winkel).

Die Seiten, die den rechten Winkel bilden, nennt man Katheten.

Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.

Üblicherweise werden rechtwinklige Dreiecke wie in der Abbildung dargestellt.

Zum Eckpunkt A gehört der Winkel α (alpha) und die gegenüberliegende Seite a.

Zum Eckpunkt B gehört der Winkel β (beta) und die gegenüberliegende Seite b.

Zum Eckpunkt C gehört der Winkel γ (gama) von 90° und die gegenüberliegende Seite c, die Hypotenuse.

Die Höhe hc auf die Hypotenuse teilt diese in die Hypotenusenabschnitte q und p.

Bei den Katheten unterscheidet man, bezogen auf die Winkel, Gegenkathete und Ankathete. Für den Winkel α ist die Seite a die Gegenkathete (sie liegt dem Winkel α gegenüber) und die Seite b die Ankathete (sie liegt an dem Winkel α an). Für den Winkel β ist es genau umgekehrt.

Pythagoras

Für rechtwinklige Dreiecke gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Satz des Pythagoras

a² + b² = c²

Der Satz des Pythagoras sagt aus, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats ist (siehe Abbildung).

Kathetensätze

a² = c · p und b² = c · q

Die Kathetensätze sagen aus, dass die Quadratfläche über einer Kathete gleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem Hypotenusenabschnitt ist, der auf der Seite der Kathete liegt.

Höhensatz

h² = p · q

Der Höhensatz sagt aus, dass das Quadrat über der Höhe gleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten ist.

Interessierte finden im Artikel Satzgruppe des Pythagoras in der Wikipedia weiterführende Informationen.

Berechnung des Umfangs eines rechtwinkligen Dreiecks

Sind alle drei Seiten des bekannt, so berechnet man den Umfang u des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten a, b und c durch Addition der Seitenlängen.

Umfang u = Seite a + Seite b + Seite c, also:

u = a + b + c

Der Umfang des Dreiecks aus der Beispielaufgabe beträgt also:

u = 3 cm + 4 cm + 5 cm

u = 12 cm

Sollten nur zwei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks gegeben sein, so kann man die fehlende Seite mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Wären in der Beispielaufgabe nur die Seiten a = 3 cm und b = 4 cm gegeben, so könnte man die Länge der Seite c wie folgt berechnen:

a² + b² = c² |

a² + b² = c

(3 cm)² + (4 cm)² = c

9 cm² + 16 cm² = c

25 cm² = c

c = 5 cm

Wären in der Beispielaufgabe nur die Seiten a = 3 cm und c = 5 cm gegeben, so könnte man die Länge der Seite b wie folgt berechnen:

a² + b² = c² | - a²

b² = c² - a²|

b = c² - a²

b = (5 cm)² - (3 cm)²

b = 25 cm² - 9 cm²

b = 16 cm²

b = 4 cm

Wären in der Beispielaufgabe nur die Seiten b = 4 cm und c = 5 cm gegeben, so müsste man entsprechend nach a umstellen.

Berechnung der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

rechtwinkliges Dreieck

Variante 1: Sind die Hypotenuse c und die Höhe auf die Hypotenuse hc gegeben, so beträgt der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks die Hälfte des Rechtecks mit den Seiten c und hc.

A = c · hc
2

Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks aus der Beispielaufgabe beträgt bei einer Höhe h = 2,4 cm also:

A = 5 cm · 2,4 cm
2
A = 12 cm²
2

A = 6 cm²

Variante 2: Sind die Seiten a und b gegeben, so beträgt der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks die Hälfte des Kathetenrechtecks mit den Seiten a und b.

rechtwinkliges Dreieck
A = a · b
2

Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks aus der Beispielaufgabe beträgt also:

A = 3 cm · 4 cm
2
A = 12 cm²
2

A = 6 cm²

Da beide Varianten zum selben Ergebnis führen müssen, kann man sie als Kontrolle benutzen, ob man richtig gerechnet hat, zum Beispiel wenn man die Höhe berechnen musste.

Hinweis

Die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts bei rechtwinkligen Dreiecken sind keine besonderen Formeln, sondern Abwandlungen der allgemeinen Formel (Dreiecksfläche gleich Hälfte von Grundseite mal Höhe):

A = g · hc
2

In einem Dreieck mit den Seiten a, b und c kann der Flächeninhalt auf drei Wegen berechnet werden, je nach dem, welche Seite als Grundseite verwendet wird:

A = a · ha = b · hb = c · hc
222

Nimmt man beim rechtwinkligen Dreieck die Seite a als Grundseite, so entspricht die Höhe ha genau der Seite b und für die Seite b ist die Höhe hb gleich der Seite a.

Berechnung der Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks

rechtwinkliges Dreieck

Die Höhe hc teilt das rechtwinklige Dreieck ABC wiederum in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten a, p und hc und b, q und hc. Sind a und p bzw. b und q bekannt, kann man hc mit dem Satz des Pythagoras ermitteln.

Wie lang die Hypotenusenabschnitte p und q sind, lässt sich mit Hilfe der Kathetensätze berechnen. Dazu stellt man die Kathetensätze nach dem gesuchten Hypotenusenabschnitt um.

Hypotenusenabschnitt p:

a² = c · p  =>  p = 
c

Hypotenusenabschnitt q:

b² = c · q  =>  q = 
c

Wir setzen die Werte aus der Beispielaufgabe ein, also a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm:

Hypotenusenabschnitt p:

p =  = (3 cm)² = 9 cm² = 1,8 cm
c5 cm5 cm

Hypotenusenabschnitt q:

q =  = (4 cm)² = 16 cm² = 3,2 cm
c5 cm5 cm

Die ermittelten Hypotenusenabschnitte verwenden wir jetzt zur Berechnung der Höhe hc:

mit Hypotenusenabschnitt pmit Hypotenusenabschnitt q

p² + hc² = a² | - p²

hc² = a² - p²|

hc = a² - p²

hc = (3 cm)² - (1,8 cm)²

hc = 9 cm² - 3,24 cm²

hc = 5,76 cm²

hc = 2,4 cm

q² + hc² = b² | - q²

hc² = b² - q²|

hc = b² - q²

hc = (4 cm)² - (3,2 cm)²

hc = 16 cm² - 10,24 cm²

hc = 5,76 cm²

hc = 2,4 cm

Beide Rechenwege des sehr ausführlichen Beispiels führen zum selben Ergebnis.

Bei bekannten Hypotenusenabschnitten p und q kann die Höhe hc auch mit dem Höhensatz berechnet werden:

h² = p · q  =>  h = p · q = 1,8 cm · 3,2 cm = 5,76 cm² = 2,4 cm

Sind die Hypotenusenabschnitte nicht gegeben, dafür aber die Seiten a, b und c, so kann die Höhe direkt berechnet werden, ohne einen der Hypotenusenabschnitte zu berechnen. Dazu kombinieren wir die Kathetensätze mit dem Höhensatz. Oben haben wir als Erstes die Kathetensätze nach den gesuchten Hypotenusenabschnitten umgestellt. Wir ersetzen im Höhensatz p und q durch die entsprechenden Terme:

h² = p · q  =>  h² =  ·  = a² · b²
cc

Nun muss man nur noch die Wurzel ziehen:

rechtwinkliges Dreieck: Formel: Höhe

Wir lösen zur Kontrolle:

rechtwinkliges Dreieck: Formel: Höhe

Die Höhe kann also mit Hilfe der einzelnen Hypotenusenabschnitte oder durch Kombination der Kathetensätze mit dem Höhensatz berechnet werden.

Dreiecke zur Veranschaulichung der Proportionalitäten

Die Höhe mit Hilfe von Proportionalitäten berechnen

Falls die Seiten a, b und c bekannt sind, gibt es übrigens noch einen weiteren und kürzeren Rechenweg zur Bestimmung der Höhe, der ohne Wurzelziehen auskommt, denn das Verhältnis der Seite b zur Seite c ist dasselbe wie das Verhältnis der Höhe hc zur Seite a, es gilt also:

b = hc => hc = a · b
cac

Wir setzen die Werte aus dem Beispiel ein:

hc = 3 cm · 4 cm = 2,4 cm
5 cm

Warum das so ist, kann man anhand der Abbildung erkennen. Die Höhe hc teilt das Dreieck ABC in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten hc, p und a (blau) und hc, q und b (rot).

Legt man diese drei Dreiecke am Winkel α übereinander, so sieht man, dass sich die Seiten proportional verändern müssen, denn die Winkel in den Dreiecken sind gleich groß.

Je nach gegebenen und gesuchten Werten stellt man die entsprechende Verhältnisgleichung auf - also Ankathete zu Gegenkathete oder Ankathete zu Hypotenuse oder Gegenkathete zu Hypotenuse oder auch alles umgekehrt - und stellt nach der gesuchten Größe um.

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Die Lösung für die Beispielaufgabe sieht so aus:

Nr.GesuchtErgebnisLösungshinweise
1.)Umfang12gegeben: Dreieck mit den Seiten a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm
gesucht: Umfang u
Lösung: u = a + b + c
u = 3 cm + 4 cm + 5 cm
u = 12 cm
2.)Flächeninhalt6gegeben: Dreieck mit den Seiten a = 3 cm und b = 4 cm
gesucht: Flächeninhalt A
Lösung:
A = a · b
2
A = 3 cm · 4 cm
2
 A = 6 cm²
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