Rechenliesel: Hinweise zu den Aufgaben zum Nachlesen
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1.4 Division

Die Aufgaben

Einfache Aufgaben sehen zum Beispiel so aus:

Zahlenbereich: bis   Operanden:
AufgabeErgebnis
1.)20 : 5=
2.)63 : 7=
3.)9 : 9=
4.)54 : 6=
5.)64 : 8=

Mit mehr Operanden und größerem Zahlenbereich sehen die Aufgaben zum Beispiel so aus:

Zahlenbereich: bis   Operanden:
AufgabeErgebnis
1.)6174 : (-21) : (-14)=
2.)-448 : 8 : 2=
3.)600 : 30 : 4=
4.)-1827 : 3 : (-21)=
5.)7308 : 14 : (-18)=

Hinweise

Die Aufgaben werden durch die Umkehrung der Multiplikation gebildet. Wer im Zahlenbereich 1 bis 10 übt, wird also Aufgaben im Bereich von 1 : 1 bis 100 : 10 lösen.

Man sollte den Zahlenbereich und die Anzahl der Operanden mit Bedacht wählen, da die Zahlen sehr schnell sehr groß werden und dann eigentlich nichts mehr fürs Kopfrechnen sind.

Ansonsten gilt sinngemäß dasselbe wie für die Multiplikation. Es geht also wieder darum, sich darin zu üben, Zahlen in Zahlen zu sehen und die Aufgaben entsprechend zu vereinfachen, sodass 195 : 15 oder 650 : 25 oder 336 : 7 im Grunde genauso einfach zu lösen werden wie 15 : 5 oder 56 : 8. Hilfreich ist dabei zu erkennen, ob es Vielfache von 10 oder 5 in der Aufgabe gibt:

Wählt man mehr als zwei Operanden, ergeben sich für die verketteten Divisionen weitere Variationen, denn die Reihenfolge der Divisionen ist egal, solange man immer den Dividenden durch einen der Divisoren teilt, also von links nach rechts rechnet. Nehmen wir das 3. Beispiel von oben, also die Aufgabe 600 : 30 : 4, für die es folgende Lösungswege gibt:

  • ohne Änderungen
  • 600 : 30 = 20
  • 20 : 5 = 5
  • mit vertauschter Reihenfolge der Divisoren
  • 600 : 4 = 150
  • 150 : 30 = 5
  • Division durch Produkt der Divisoren
  • 30 · 4 = 120
  • 600 : 120 = 5

Diese Varianten gibt es, da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist:

5 · 4 · 30 = 20 · 30 = 5 · 120 = 600

Achtung! Für die Multiplikation gilt das Kommutativgesetz (Summanden/Faktoren sind vertauschbar), für die Division gilt das Kommutativgesetz nicht, denn man kann den Dividenden nicht mit dem Divisor vertauschen. Bei den unterschiedlichen Lösungs­wegen im Beispiel wurde die Reihenfolge der Divisoren verändert bzw. das Produkt der Divisoren gebildet, während der Dividend gleich blieb.

Man rechnet also mehrere Divisionen von links nach rechts, wobei die Zahl ganz links der Dividend ist. Nach der Division wird der ermittelte Quotient wieder zum Dividenden der nächsten Division usw. bis zum letzten Teilschritt.

Würde man in der Aufgabe 600 : 30 : 4 zuerst 30 : 4 = 7,5 und dann 600 : 7,5 rechnen, wäre das Ergebnis 80. Das ist richtig, nur nicht für die Aufgabe 600 : 30 : 4, sondern für 600 : (30 : 4). Man kann aus einem Divisor nicht nach Belieben einen Dividenden machen, es sei denn, dass man ihn mit Hilfe von Klammern dazu macht, aber Klammern sind erst im Thema 1.6 an der Reihe.

An den Beispielen sieht man wieder, dass es mehrere Wege gibt, sich bequem "ans Ziel zu rechnen". Das hängt von den eigenen Vorlieben und ein bisschen von den Zahlen ab. Und wie immer macht Üben Meister.

Lösungen

Sollte man sich verrechnet haben, kann man sich die Lösung anschauen. Bei mehrschrittigen Aufgaben werden die einzelnen Lösungsschritte angezeigt.

Nr.AufgabeLösung
1)6174 : (-21) : (-14)21
Lösungsschritte
1) 6174 : (-21) = -294
2) -294 : (-14) = 21
2)-448 : 8 : 2-28
Lösungsschritte
1) -448 : 8 = -56
2) -56 : 2 = -28

Hinweis zur Division mit negativen Zahlen

Übt man auch mit negativen Zahlen, so kann man wählen, ob die Lösungsschritte vereinfacht werden sollen.

Im Unterschied zur Addition und Subtraktion ändert sich bei der Division negativer Zahlen der Operator nicht: Division bleibt also Division. Zum Vergleich: Aus 5 + (-4) wird beim Addieren 5 - 4.

Vereinfachend kann man sagen, dass man zunächst die Division ohne negative Vorzeichen und Klammern ausführt und dann das entsprechende Vorzeichen setzt. Ist die Anzahl negativer Operanden gerade, so ist das Gesamtergebnis positiv. Ist die Anzahl negativer Operanden hingegen ungerade, so ist das Gesamtergebnis negativ.

In der folgenden Abbildung (neue Aufgaben) sieht man den Unterschied. Bei der Vereinfachung der Lösungsschritte werden vor dem Berechnen die negativen Vorzeichen und die Klammern weggelassen. Nach dem Berechnen (oder auch davor - das spielt keine Rolle) ist zu entscheiden, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. Bei gerader Anzahl negativer Operanden ist das Ergebnis positiv, bei ungerader Anzahl ist das Ergebnis negativ. Da das aber nicht alle beim Kopfrechnen für einfacher halten, kann man selbst entscheiden, wie die Lösungsschritte im Falle eines Fehlers angezeigt werden sollen.

Nr.AufgabeLösung
1.)504 : 9 : 8 : (-1)-7
Lösungsschritte
Aufgabe ohne negative Zahlen
504 : 9 : 8 : 1
504 : 9 = 56
56 : 8 = 7
7 : 1 = 7
Anzahl der negativen Operanden (1) ist ungerade => Ergebnis ist negativ
2.)216 : (-6) : 3 : (-6)2
Lösungsschritte
Aufgabe ohne negative Zahlen
216 : 6 : 3 : 6
216 : 6 = 36
36 : 3 = 12
12 : 6 = 2
Anzahl der negativen Operanden (2) ist gerade => Ergebnis ist positiv
3.)320 : 5 : 2 : (-4)-8
Lösungsschritte
Aufgabe ohne negative Zahlen
320 : 5 : 2 : 4
320 : 5 = 64
64 : 2 = 32
32 : 4 = 8
Anzahl der negativen Operanden (1) ist ungerade => Ergebnis ist negativ
4.)150 : 2 : 5 : (-5)-3
Lösungsschritte
Aufgabe ohne negative Zahlen
150 : 2 : 5 : 5
150 : 2 = 75
75 : 5 = 15
15 : 5 = 3
Anzahl der negativen Operanden (1) ist ungerade => Ergebnis ist negativ
5.)-972 : (-9) : 6 : (-6)-3
Lösungsschritte
Aufgabe ohne negative Zahlen
972 : 9 : 6 : 6
972 : 9 = 108
108 : 6 = 18
18 : 6 = 3
Anzahl der negativen Operanden (3) ist ungerade => Ergebnis ist negativ

Achtung! Ändert man die Option Lösungsschritte vereinfachen, so wird die Änderung erst wirksam, wenn man sich neue Aufgaben anzeigen lässt.

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