Goldesel: Hinweise zu den Aufgaben
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8.2 Der gewogene Durchschnitt

Die Aufgaben

Bei diesen Aufgaben ist der gewogene Durchschnitt (auch gewichteter Durchschnitt/Mittelwert oder gewogenes/gewichtetes arithmetisches Mittel genannt) zu berechnen. Die Aufgaben sehen zum Beispiel so aus:

Ermitteln Sie den gewogenen Durchschnitt! Runden Sie gegebenenfalls auf 2 Stellen!

Im Rahmen einer Sonderaktion will die Kaisers neue Kleider GmbH Kleider verkaufen. Die Kleider sollen mit ihren verschiedenen Preisklassen zu einem einheitlichen gewogenen Durchschnittspreis angeboten werden. Ermitteln Sie diesen Preis! Folgende Angaben liegen vor:
KleiderPreis pro Stück
Preisklasse 1:45 Stck.20,00 €
Preisklasse 2:110 Stck.35,00 €
Preisklasse 3:25 Stck.39,00 €
Preisklasse 4:115 Stck.45,00 €
Preisklasse 5:40 Stck.49,00 €
 

Zum Verständnis

Um das gewogene arithmetische Mittel zu berechnen, addiert man die Produkte aller gegebenen Elemente und dividiert die so ermittelte Summe durch die Summe der Elemente.

Ein Beispiel: Peter kauft 1 Hose für 50 € und eine für 100 €. Im Schnitt kostet da jede Hose 75 €. Auch wenn er je 10 Hosen für 50 € und 100 € kauft. Was aber wenn er 2 Hosen zu 50 € und 3 Hosen zu 100 € kauft? In diesem Fall reicht es nicht die Preise und die Anzahl der Hosen zu addieren, sondern man muss die Produkte aus Anzahl der Hosen und Preis addieren und diese Summe durch die Anzahl der Hosen teilen:

Summe der Produkte der Elemente (Preis · Anzahl)
 2 · 50 = 100
 3 · 100 = 300
 100 + 300 = 400

Summe der der Elemente:
 2 + 3 = 5

gewogenes arithmetische Mittel:
 400 : 5 = 80

Falls Peter also 2 Hosen zu 50 € und 3 Hosen zu 100 € kauft, kostet eine Hose im Schnitt 80 €, da die teureren Hosen mehr ins Gewicht fallen, da es mehr sind als die billigeren.

Die Formel

Mittelwert
Ø = x1 · a1 + x2 · a2 + ... + xn · an
x1 + x2 + ... + xn

Das in der Formel verwendete Zeichen Ø (durchgestrichener Kreis) ist das Symbol für das arithmetische Mittel. In der Mathematik wird auch ein x mit Überstrich verwendet.

Die x-Werte repräsentieren die Anzahl der gegebenen Elemente, das a den Faktor.

Im Beispiel mit Peter: x1 = 2 Hosen, a1 = 50 € usw.

Wer nur ungern Formeln lernt, der merkt sich den inhaltlichen Zusammenhang:

Mittelwert = Summe der Produkte der Elemente
Summe der Elemente

Angewendet auf die Beispielaufgabe mit Peter bedeutet das:

Beispielaufgabe
Ø = 2 · 50 + 3 · 100
2 + 3
Ø = 400
5
Ø = 80

Viel Erfolg beim Üben.

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