Goldesel: Hinweise zu den Aufgaben
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3.2 Dreisatzaufgaben mit ungeradem (indirekt proportionalem) Verhältnis

Die Aufgaben

Die Textaufgaben sehen zum Beispiel so aus:

Lösen Sie die Textaufgaben!

AufgabeErgebnis
1.)Der Herr Bankdirektor Alois Scherflein kommt mit seinem Geld 16 Tage aus, wenn er täglich 240,00 € ausgibt. Wie viel Geld könnte er ausgeben, wenn es für 20 Tage reichen müsste? €
2.)Der Lebensmittelvorrat auf einem Schiff reicht bei 8 Mann Besatzung für 88 Tage. Wie groß könnte die Besatzung an Bord sein, wenn der Vorrat nur für 44 Tage reichen müsste? Mann
3.)Der Lehrling Bodo Kruse kommt mit seinem Geld 25 Tage aus, wenn er täglich 10,50 € ausgibt. Wie viel Geld könnte er ausgeben, wenn es nur für 5 Tage reichen müsste? €
4.)Der Lehrling Bodo Kruse kommt mit seinem Geld 19 Tage aus, wenn er täglich 76,20 € ausgibt. Wie viel Geld könnte er ausgeben, wenn es für 114 Tage reichen müsste? €
5.)Der Architekt Fred Zirkel plant den Bau eines Mietshauses mit 29 Wohnungen mit einer Fläche von je 108 m². Wie viele Wohnungen könnte das Gebäude enthalten, wenn die Fläche pro Wohnung nur 87 m² betrüge? Wohnungen

Zum Verständnis

Auch diese Art von Dreisatzaufgaben begegnet uns häufig im Leben, nicht nur in der Schule und im Beruf. Als einfaches Beispiel hier folgende Situation: Paul teilt sich sein wöchentliches Taschengeld gut ein und gibt täglich 5 € aus. Wie viel Tage würde sein Geld reichen, wenn er 10 € täglich ausgeben würde?

Verallgemeinert geht es dabei um ein Verfahren, wie man aus drei gegebenen Werten einen gesuchten vierten Wert berechnet. Die Werte müssen dabei in einem Verhältnis zueinander stehen: Das Beispiel mit Paul hätte wenig Sinn, wenn man fragte: Wie viel Pommes hat Paul letzte Woche gegessen?

Mathematisch gesehen geht es bei Dreisatzaufgaben um Proportionalitäten, also um Verhältnisse von Zahlen zueinander. Man unterscheidet zwischen Dreisatzaufgaben mit geradem (= proportionalem) Verhältnis und mit ungeradem (= indirekt proportionalem) Verhältnis.

An dieser Stelle geht es um Dreisatzaufgaben mit ungeradem (= indirekt proportionalem) Verhältnis. Einfach gesagt, bedeutet indirekt proportional, dass - bezogen auf eine bestimmte Menge - aus mehr weniger wird und aus weniger mehr. Im Beispiel mit Paul und seinem Geld: täglich mehr Geld ausgeben = das Geld reicht nicht so lange, täglich weniger Geld ausgeben = das Geld reicht länger. Diesen Zusammenhang muss man erkennen, denn er ist die Grundlage für die Lösung.

Fast jeder kann sagen, dass Paul in der Aufgabe mit seinem Geld nur eine halbe Woche reicht. Fragt man warum, hört man so etwas wie: Ist doch logisch! Das sieht man doch! Weißt du das denn nicht? Wenn sich da was verdoppelt, da muss sich das andere halbieren. usw. usf. Wer das Warum kennt, kann gleich ein bisschen üben oder etwas anderes machen. Die anderen sollte lesen und verstehen. Es ist eigentlich ganz einfach.

Hinweis: Es ist von Vorteil, die mathematischen Grundlagen und das Lösungsverfahren von Dreisatzaufgaben mit proportionalem Verhältnis zu kennen und zu beherrschen. Eine kurze Gegenüberstellung finden Sie bei den Hinweisen zu den gemischten Dreisatzaufgaben.

Eine Aufgabe - drei Lösungswege

Im folgenden werden drei mögliche Lösungswege gezeigt. Entscheiden Sie selbst, welcher Ihnen am praktikabelsten erscheint.

Wer es eilig hat, der schaut sich die Hinweise zur Bearbeitung der Aufgaben weiter unten an.

1. Lösungsweg: Die zwei gleichen Produkte

Dieser Lösungsweg ist der einfachste und hat mit der indirekten Proportionalität scheinbar am wenigsten zu tun. Die für die Lösung entscheidende Tatsache ist, dass das Produkt der Zahlenpaare im Bedingungssatz und im Fragesatz gleich ist:

  1. 5 · 7 = 35
  2. 10 · 3,5 = 35

Da 35 = 35 ist, lässt sich daraus folgende Gleichung ableiten:

5 · 7 = 10 · 3,5

Wir setzen den gesuchten Wert x statt 3,5 ein:

5 · 7 = 10 · x

Wir stellen nach x um und berechnen:

5 · 7 = 10 · x  | :10
(5 · 7) : 10 = x
x = 3,5

Das war's schon. Zu erkennen, dass es sich bei der Aufgabe um ein indirekt proportionales Verhältnis handelt, war also nur notwendig, um uns für den Lösungsweg mit der Gleichung mit den zwei Produkten zu entscheiden.

Da man bekanntlich eine Division als Bruch schreiben kann, ist im vorletzten Schritt auch folgende Schreibweise möglich:

x = 5 € · 7 Tage
10 €

In dieser Schreibweise kann man besser kürzen (falls möglich) und sieht, wie die Einheit Euro durch Kürzen wegfällt.

2. Lösungsweg: Der Proportionalitätsfaktor und sein Kehrwert

Man kann die Aufgabe auch lösen, indem man den Proportionalitätsfaktor ermittelt. Schauen wir uns das im Detail an.

Die indirekte Proportionalität besteht zwischen den gleichartigen Größen in der Bedingung und der Frage:

  1. Die 5 € stehen in einem bestimmten Verhältnis zu den 10 €.
  2. Dieses Verhältnis lässt sich mit einem Faktor (= Proportionalitätsfaktor) beschreiben.
  3. Diesen Faktor berechnet man so: Betrag 2 durch Betrag 1: 10 : 5 = 2.
  4. Das Verhältnis zwischen 5 € und 10 € ist also das von 1 zu 2.
    Die 5 € multipliziert mit dem Faktor 2 ergeben 10 €: 5 · 2 = 10.

Wenn wir schon jetzt (wie bei den geraden Dreisatzaufgaben) probieren, auszurechnen, wie lange das Geld reicht (7 Tage multipliziert mit dem ermittelten Faktor von 2), sehen wir, dass das Ergebnis 14 nicht stimmen kann. Denn es müssen ja weniger Tage werden und nicht mehr. Sehen wir uns deshalb auch das zweite Zahlenpaar an:

  1. Die 7 Tage stehen in einem bestimmten Verhältnis zu den 3,5 Tagen.
  2. Dieses Verhältnis lässt sich mit einem Faktor (= Proportionalitätsfaktor) beschreiben.
  3. Diesen Faktor berechnet man so: Zeitraum 2 durch Zeitraum 1: 3,5 : 7 = 0,5.
  4. Das Verhältnis zwischen 7 Tagen und 3,5 Tagen ist also das von 1 zu 0,5.
    Die 7 Tage multipliziert mit dem Faktor 0,5 ergeben 3,5 Tage: 7 · 0,5 = 3,5.

Wir sehen, dass der Proportionalitätsfaktor jetzt 0,5 ist, und 0,5 ist offensichtlich nicht gleich 2. Trotzdem besteht zwischen den Zahlenpaaren ein Verhältnis, es ist aber indirekt proportional: Im ersten Zahlenpaar wird die 5 verdoppelt zu 10, im zweiten Zahlenpaar wird die 7 halbiert zu 3,5. Der Proportionalitätsfaktor ist einmal die 2 und einmal der Kehrwert von 2, also 0,5.

Wenn man die Sache mit dem Kehrwert verstanden hat, ist der Lösungsweg einfach:

  1. Proportionalitätsfaktor ermitteln
  2. den Kehrwert ermitteln
  3. gesuchte Größe ermitteln

Für die konkrete Aufgabe sieht das so aus:

  1. 10 : 5 = 2
  2. Kehrwert von 2 ist 0,5 (Der Kehrwert einer Zahl ist gleich 1 geteilt durch die Zahl, also 1 : 2 = 0,5.)
  3. 7 · 0,5 = 3,5

Das war's schon.

3. Lösungsweg: Die Verhältnisgleichung und der Kehrwert

Offen gesagt, ist dieser Lösungsweg kein neuer Lösungsweg. Vielmehr bringen wir die drei Schritte des 2. Lösungsweges in einer Verhältnisgleichung zusammen. Aber der Reihe nach:

Wir haben bereits im 2. Lösungsweg die Proportionalitätsfaktoren wie folgt ermittelt:

Da auf den rechten Seiten der Gleichungen 2 nicht gleich 0,5 ist, können wir die linken Seiten auch nicht einfach gleichsetzen. Trotzdem wissen wir ja, dass zwischen den beiden linken Seiten der Gleichungen ein mathematischer Zusammenhang bestehen muss. Denn die rechten Seiten sind zwar einander nicht gleich, sondern indirekt proportional (0,5 ist der Kehrwert von 2 und auch umgekehrt ist 2 der Kehrwert von 0,5).

Das ist der Lösungsansatz: Genau derselbe Zusammenhang besteht zwischen den linken Seiten der Gleichung: 10 : 5 ist nicht gleich 3,5 : 7, sondern 10 : 5 ist gleich dem Kehrtwert von 3,5 : 7.

Was aber ist der Kehrwert von 3,5 : 7? Laut Definition ist der Kehrwert einer Zahl gleich 1 geteilt durch die Zahl, es sieht also nach einem komplizierten Ausdruck aus. Aber hier hilft die Schreibung der Division als Bruch, denn es ist ganz einfach, von einem Bruch den Kehrwert zu bilden => man vertauscht einfach Zähler und Nenner:

3,5 : 7 = 3,5Kehrwert: 7
73,5

Jetzt setzen wir diesen Kehrwert in die Gleichung ein:

10 = 7
53,5

Wir setzen x für 3,5 ein, formen um und lösen:

10 = 7
5x
x = 5 · 7
10
x = 3,5

Das war's schon. Zugegeben, dieser Lösungsweg erfordert etwas mehr mathematisches Verständnis und Abstraktionvermögen als der erste. Jedoch zeigt er am deutlichsten, warum Dreisatzaufgaben mit direkt und indirekt proportionalen Verhältnissen mathematisch eine Aufgabengruppe bilden: Der universelle Lösungsansatz besteht im Aufstellen einer Verhältnisgleichung (auch Proportionalgleichung genannt).

Als letzter Hinweis für Interessierte, die sich indirekte Proportionalität bildlich vorstellen wollen: Das konkrete indirekt proportionale Verhältnis ist keine lineare Funktion (= Gerade wie beim "geraden" Dreisatz), sondern eine Hyperbel (= Kurve beim "ungeraden" Dreisatz). Wem Hyperbel als Bild nicht hilft, der kann sich vorstellen, dass er für eine größere Party 16 quadratische Tische zu einer großen Tafel zusammenstellen muss: Die Tafel kann 16 Tische lang und 1 Tisch breit sein oder 8 x 2 oder 4 x 4 oder 2 x 8 oder 1 x 16. Die genannten Zahlenpaare ergeben eingetragen in einem Koordinatensystem eine Kurve, die man Hyperbel nennt.

Zur Bearbeitung der Aufgaben

Worauf es bei den Aufgaben ankommt, ist das Verstehen der Aufgabe und das Formulieren der Gleichung zur Lösung. Das Ausrechnen ist nicht schwer - es gibt ja Taschenrechner.

Welchen Lösungsweg Sie dabei bevorzugen, ist dabei egal, denn nach dem Umstellen nach der gesuchten Größe sehen die Formeln für den 1. und 3. Lösungsweg ja gleich aus. Falls Sie nach dem 2. Lösungsweg vorgehen, können Sie nur das Ergebnis vergleichen.

Beispielaufgabe
Der Herr Bankdirektor Alois Scherflein kommt mit seinem Geld 16 Tage aus, wenn er täglich 240,00 € ausgibt. Wie viel Geld könnte er ausgeben, wenn es für 20 Tage reichen müsste?
Lösung
gegeben: 240,00 € | 16 Tage
gesucht: x € für 20 Tage
=> indirekt proportionales Verhältnis
Lösung: x = (240 · 16) : 20
x = 192 €

Zu jeder Aufgabe gibt es einen Lösungsvorschlag mit Lösungsweg. Der Lösungsvorschlag richtet sich nach dem Text in der Aufgabe. Es wird versucht, das Verhältnis der Aufgabe in gegeben und gesucht kurz und präzise zu formulieren. In gesucht steht immer der gesuchte Wert x vorn.

Die Gleichung für die Lösung ist die lange Form der nach x umgestellten Verhältnisgleichung mit allen eingesetzten Werten. Die Klammern sind zwar nicht nötig, aber sie sollen verdeutlichen, welche Zahlen "zusammengehören". Man könnte die Gleichung auch als Bruch schreiben, das erfordert in HTML aber ziemlich viel Markup.

Viel Erfolg beim Üben.

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