Bei diesen Aufgaben sollen die für ein bestimmtes Kapital in einem bestimmten Zeitraum anfallenden Zinsen berechnet werden. Die Aufgaben können so aussehen:
Lösen Sie die Textaufgaben!
Nr.
Aufgabe
Ergebnis
1. Aufgabe
Bei einem Zinssatz von 10,5 % ist das Ausgangskapital nach 12 Jahren mit Zinseszins auf 152.442,19 € angewachsen. Wie hoch war das Ausgangskapital?
Ergebnis: €
2. Aufgabe
Der Jahresgewinn in Ihrem Betrieb beträgt 80.000,00 €. Er soll planmäßig jährlich um 4,4 % steigen. Wie hoch wäre der Gewinn nach 8 Jahren, wenn alles nach Plan läuft?
Ergebnis: €
3. Aufgabe
Wie hoch muss der Zinssatz sein, damit aus einem Kapital von 79.500,00 € in 6 Jahren mit Zinseszins 95.400,00 € werden?
Ergebnis: %
4. Aufgabe
Sie geben pro Monat 810,00 € für Lebensmittel aus. Wie hoch wären Ihre Ausgaben für Lebensmittel nach 8 Jahren, wenn die Preise jährlich um 2,9 % steigen?
Ergebnis: €
5. Aufgabe
Wie hoch war das Ausgangskapital, wenn bei einem Zinssatz von 10,25 % nach 13 Jahren mit Zinseszins 211.562,52 € zur Verfügung stehen?
Ergebnis: €
Zum Verständnis
Im Unterschied zur einfachen Zinsrechnung wird bei der Zinseszinsrechnung ein Kapital K0 über einen Zeitraum von n Jahren mit einem Zinssatz p verzinst, wobei der am Ende des Jahres fällige Zins zum Ausgangskapital addiert wird.
Ein Beispiel: Ein Kapital von 10.000,00 € wird mit 5 % drei Jahre lang angelegt.
Das Kapital entwickelt sich dabei wie folgt:
Jahr
Zins
Kapital + Zins
1
500,00 €
10.500,00 €
2
525,00 €
11.025,00 €
3
551,25 €
11.576,25 €
Nach Ablauf der drei Jahre liegt also mit Zinseszins ein Zinsertrag von 1.576,25 € vor. Im Vergleich dazu läge der Zinsertrag ohne Zinseszins bei 1.500,00 €.
Durch die Wiederanlage des Zinsertrages steigt der Betrag des Ausgangkapitals, was wiederum jedes Jahr zu einem höheren Zinsertrag führt. Umgangssprachlich ausgedrückt: Es wird jedes Jahr mehr mehr Geld. Mathematisch spricht man von einem exponentiellen Anstieg.
Die Formel
Sind Ausgangkapital K0, der Zeitraum n in Jahren und der Zinssatz p gegeben, so berechnet man das vermehrte Kapital Kn nach folgender Formel:
Kn = K0 · qn
Die Variable q steht dabei für den so genannten Zinsfaktor, der manchmal auch als Zinsfuß bezeichnet wird.
Herleitung der Formel
Im oben beschriebenen Beispiel wurden die Zinsen dreimal berechnet und jeweils zum Kapital addiert, dabei wurde von der allgemeinen Formel ausgegangen (vermehrtes Kapital = Ausgangkapital + Zinsertrag), wobei sich das Ausgangskapital jedes Jahr um die Zinsen erhöht. Hier die drei Schritte ganz ausführlich:
nach 1 Jahr
K1 = K0
+
K0 · p
100
K1 = K0 · (1
+
p
)
100
K1 = 10.000,00 · (1 +
5
)
100
K1 = 10.000,00 · 1,05
K1 = 10.500,00
nach 2 Jahren
K2 = K1
+
K1 · p
100
K2 = K1 · (1
+
p
)
100
K2 = 10.500,00 · (1 +
5
)
100
K2 = 10.500,00 · 1,05
K2 = 11.025,00
nach 3 Jahren
K3 = K2
+
K2 · p
100
K3 = K2 · (1
+
p
)
100
K3 = 11.025,00 · (1 +
5
)
100
K3 = 11.025,00 · 1,05
K3 = 11.576,25
Den in allen Berechnungen auftretenden Term 1 + p/100 nennt man Zinsfaktor.
Da das Ausgangskapital immer wieder mit demselben Zinsfaktor multipliziert wird, kann der Zinsfaktor zu einer Potenz zusammengefasst werden. Für eine beliebige Anzahl von n Jahren lässt sich die Formel aufstellen:
Durch das Ersetzten des Zinsfaktors durch die Variable q wird die Formel Kn = K0 · qn übersichtlicher.
Am besten merkt man sich die relativ einfache Formel in Worten:
vermehrter Wert gleich Ausgangswert mal Zinsfaktor hoch Anzahl der Jahre
Es empfiehlt sich auch, in Kategorien wie Ausgangswert und vermehrter Wert zu denken, denn exponentielles Wachstum gibt es nicht nur beim Kapital, sondern auch zum Beispiel beim Bevölkerungswachstum, Wirtschaftswachstum, Löhnen, Inflation, ...
Die Formel lässt sich natürlich umstellen. Wie die Umstellungen aussehen, finden Sie in den folgenden Anwendungsbeispielen.
Beispielaufgaben
Beispiel für die Berechnung des vermehrten Wertes
Ein Betrag in Höhe von 10.000,00 wird 15 Jahre bei 5 % mit Zinseszins angelegt. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag?
Zwischenschritt: Zinsfaktor q berechnen nach der Formel:
q = 1 +
p
= 1 +
5
= 1,05
100
100
Berechnung:
K0 =
17.463,00
=
17.463,00
1,0516
2,1828745883819
K0 = 8.000,00 € (auf 2 Stellen gerundet von 8000,0015085358)
Beispiel für die Berechnung der Laufzeit
Wie viele Jahre müsste man ein Kapital von 10.000,00 € bei 5 % mit Zinseszins anlegen, damit ist es auf mindestens 18.000,00 € angewachsen ist? Runden Sie auf volle Jahre auf!
Zwischenschritt: Zinsfaktor q berechnen nach der Formel:
q = 1 +
p
= 1 +
5
= 1,05
100
100
Berechnung:
n =
lg 1,8
lg 1,05
Laufzeit n = 13 Jahre (aufgerundet von 12.047236874648)
Beispiel für die Berechnung der Laufzeit ohne konkreten Ausgangswert
Angenommen, eine Population von Kaninchen wächst jährlich um 10 %. Nach wie vielen Jahren würde sich die Population verdreifacht haben? Runden Sie auf volle Jahre auf!
Zwischenschritt: Zinsfaktor q berechnen nach der Formel:
q = 1 +
p
= 1 +
10
= 1,1
100
100
Berechnung:
n =
lg 3
lg 1,1
Laufzeit n = 12 Jahre (aufgerundet von 11,526704607248)
Hinweis: Bei dieser Aufgabe spielen nicht die konkreten Werte für die Ausgangs- und die vermehrte Population eine Rolle, sondern das Verhältnis: Unabhängig davon, wie groß K0 tatsächlich ist, gilt im Beispiel Kn = 3K0. Mit diesem Zusammenhang lässt sich der für die Berechnung notwendige Quotient von Kn und K0 ermitteln. Dass sich ein Kaninchen niemals zu drei Kaninchen vermehren kann, sollte dabei klar sein.
Beispiel für die Berechnung des Zinssatzes
Bei welchem Zinssatz wächst ein Kapital von 10.000,00 €, das für 5 Jahre mit Zinseszins angelegt wird, auf 14.000,00 €?
Wer sich für Zusammenhänge von Zinsen und Schulden interessiert, dem sei das Buch Schulden, Stuttgart 2012, ISBN 978-3-608-94767-0, von David Graeber empfohlen.