Goldesel: Hinweise zu den Aufgaben
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1.1 Prozentrechnung: Berechnung des Prozentsatzes

Die Aufgaben

Bei diesen Aufgaben berechnen Sie den Prozentsatz. Die Aufgaben sehen zum Beispiel so aus:

Berechnen Sie den Prozentsatz! Wie viel Prozent sind ...?

AufgabeErgebnis
1.)32 von 40 %
2.)27 von 60 %
3.)51 von 85 %
4.)87 von 100 %
5.)21 von 42 %

Zum Verständnis

Ganz allgemein drücken Prozentangaben Verhältnisse mit Bezug auf die feste Vergleichsgröße von 100 aus.

Der Prozentsatz beschreibt dabei das Verhältnis von Prozentwert zu Grundwert im Bezug zu 100.

Nehmen wir als Beispiel folgenden Satz: 15 der 30 Schüler in der Klasse tragen heute gelbe Socken. Die Zahlen sind einfach: 15 von 30 ist die Häfte. Die Hälfte von 100 ist 50, also tragen 50 % der Schüler der Klasse heute gelbe Socken.

Der Prozentsatz von 50 % sagt dabei, wie viele Schüler in einer Klasse mit 100 Schülern gelbe Socken tragen würden. Das Wort Prozent bedeutet ja auch auf deutsch vom Hundert, in manchen Texten findet man die Abkürzung v.H. statt des Prozentzeichens.

Man kann sich die Prozentangaben auch als das Verhältnis zweier Brüche zueinander vorstellen.

konkretes Beispielallgemeiner Ausdruck
15 Schüler=50
30 Schüler100
Prozentwert=Prozentsatz
Grundwert100

Dabei steht die 15 zur 30 im selben Verhältnis wie die 50 zur 100. In unserem Zahlenbeispiel ist es jeweils die Hälfte. Daraus lässt sich ganz einfach die allgemeine Formel zur Berechnung des Prozentsatzes ableiten.

Die Formel

Prozentsatz
Prozentsatz = Prozentwert · 100
Grundwert
Angewendet auf unsere Aufgabe bedeutet das:
50 % = 15 Schüler · 100
30 Schüler

Das Prozentzeichen

Das Prozentzeichen % entspricht einem mathematischen Operator, der den davorstehenden Prozentsatz p durch 100 teilt. Die folgenden Schreibweisen sind identisch:

50 % = 50 = 1 = 0,5
1002

Wie man im Beispiel sieht, kann der Prozentwert als Bruch geschrieben und auch, falls möglich, gekürzt werden. Deshalb ist 50 % der Schüler mathematisch dasselbe wie die Hälfte der Schüler.

Hinweise zum Berechnen

Wie man rechnet und welche Rechenvorteile man nutzt, bleibt den eigenen Vorlieben und den konkreten Zahlen überlassen. Bezogen auf das Beispiel gibt es verschieden Möglichkeiten:

Hinweise für die, die nicht gerne Formeln lernen (muss man nicht lesen)

Man muss die Formel nicht lernen, sondern man kann sie immer und jederzeit herleiten. Egal, ob man Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert berechnen will. Dazu reicht es, sich ein einfaches Beispiel zu merken. Wichtig dabei ist, sich das Beispiel als Verhältnis zu merken, dass man mit Hilfe zweier Brüche ausdrücken kann.

mit Einheiten:
15 Schüler=50
30 Schüler100
ohne Einheiten:
15=50
30100

Nun muss man nur den gesuchten Wert einsetzen und danach umformen. Für den Prozentsatz bedeutet das:

gesucht:
15=Prozentsatz
30100
umgeformt:
Prozentsatz = 15 · 100
30

Das war es dann auch schon. Die ganz Pfiffigen sehen an dieser Stelle vielleicht, dass die ganze Prozentrechnung ein Spezialfall der Dreisatzaufgaben ist, da ein Wert immer 100 beträgt. Nur so zum Nachdenken und zum Erkennen der mathematischen Muster ein Beispiel: 1 Brot kostet 2 Euro. Wie viel Brote bekommt man für 6 Euro? Als Verhältnis ausgedrückt bedeutet das: 1 Brot steht im selben Verhältnis zu 2 Euro wie x Brote zu 6 Euro. Als Bruch geschrieben sieht das so aus:

gesucht:
1 Brot=x Brote
2 Euro6 Euro
umgeformt:
3 Brote = 1 · 6
2

Im Grunde geht es nur um Verhältnisse zwischen Zahlen ...

Viel Erfolg beim Üben.

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