2.4 Zinsrechnen: Kapitalberechnungen

Die Aufgaben

Bei diesen Aufgaben soll das Kapital berechnet werden, das notwendig ist, um in einem bestimmten Zeitraum bei einem bestimmten Zinssatz zu einem bestimmten Zinsertrag zu führen. Die Aufgaben können so aussehen:

Bei den Aufgaben sind zwei Fragestellungen möglich:

1. Das Ausgangskapital ist bei gegebenem Zinsertrag zu berechnen.
2. Das Ausgangskapital ist bei gegebenem vermehrtem Kapital (Ausgangskapital + Zinsertrag) zu berechnen.

Wer nur die erste Variante rechnen will, lässt es bei der Voreinstellung. Andernfalls wählt man die entsprechende Option (Zinsertrag oder vermehrtes Kapital) und übt beide Varianten.

Die Formel

Um das Kapital K zu berechnen, stellen wir die Grundformel nach dem Kapital um:

Für die Zeit ist die Anzahl von n Jahren, Monaten bzw. Tagen einzusetzen.

Rechnet man mit Jahren, so lässt man den Zeitfaktor 1 im Zähler meist weg, man sollte sich ihn aber mitdenken, denn bei Berechnungen mit Monaten und Tagen darf man ihn nicht vergessen.

Schreibt man den Zeitfaktor mit Einheit, so sieht man, dass sich Zeiteinheit wegkürzen lässt: übrig bleibt die Einheit Euro von den Zinsen.

Bei der Darstellung der Lösungsschritte wird aus Gründen der Übersichtlichkeit auf die Einheiten verzichtet, da immer das Kapital in Euro übrig bleibt.

Bearbeitung der Aufgaben

1. Der Zinsertrag ist gegeben

Dieser Fall ist relativ einfach. Finden Sie zunächst anhand des Aufgabentextes die gegebenen Größen heraus. Achten Sie auf den Zeitraum (Jahre, Monate, Tage), um ihn in der Formel entsprechend zu berücksichtigen.

Sollten Sie beim Berechnen einen Fehler machen, können Sie mit Hilfe der Lösung herausfinden, worin er besteht.

2. Das vermehrte Ausgangskapital ist gegeben

Dieser Fall erfordert ein anderes Herangehen an die Lösung, denn der Zinsertrag ist nicht gegeben. Wir wissen jedoch:

1. Ausgangskapital (entspricht 100 %) + Zinsen (x % von 100) = vermehrtes Kapital (entspricht 100 % + x %).
2. Die Zinsen entsprechen also einem bestimmten Prozentsatz x des Ausgangskapitals.
3. Dieser Prozentsatz lässt sich berechnen: x = Zinssatz · Laufzeit
4. Da das Ausgangskapital 100 % und das vermehrte Kapital 100 % + x % entspricht, lässt sich eine einfache Verhältnisgleichung aufstellen und nach dem Ausgangskapital umformen:

Bitte beachten Sie, dass bei einer Laufzeit in Monaten bzw. Tagen der Prozentwert x entsprechend durch 12 bzw. 360 geteilt werden muss.

Beim Lösungsweg zu dieser Aufgabenvariante wird nicht gleich in die Formel eingesetzt, sondern in einem Zwischen­schritt der Prozentsatz x ausgerechnet. Dabei wird die Berücksichtigung der Monate bzw. Tage als Einheit für die Laufzeit deutlicher. Hier ein Beispiel (Laufzeit in Jahren):

Und noch ein Beispiel (Laufzeit in Monaten):

Hinweis

Bei den Aufgaben werden Sie auch unrunde Ergebnisse erhalten. Das hat mit Rundungsfehlern (besser Toleranzen) zu tun, da man Geldbeträge nur auf zwei Stellen genau angibt. Man kann zwar mutmaßen, ob zum Beispiel ein berechnetes Ausgangskapital von 49.999,97 € vielleicht 50.000 € entspricht, aber es bleibt eine Mutmaßung, da wir es nicht wissen. Geben Sie also als Ergebnis immer den von Ihnen errechneten und auf 2 Stellen nach dem Komma gerundeten Betrag ein.

Viel Erfolg beim Üben.